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Cette étude concerne le comportement asymptotique en temps des solutions d'équations paraboliques dégénérées. Plus précisément, les équations étudiées rentrent dans le cadre de l'analyse de certains phénomènes concernant la diffusion de substances en milieu poreux; elles rentrent également dans le cadre de l'étude de certains phénomènes en physique des plasmas ainsi que dans celui de certains phénomènes de migration en dynamique des populations, et jouent donc un rôle prépondérant. dans nombre d'applications. Dans l'introduction nous expliquons quels sont les résultats déjà connus dans ce contexte, puis nous décrivons brièvement la stratégie et les méthodes que nous allons utiliser pour prouver certaines généralisations. Dans le chapitre 2, nous formulons très précisément et nous commentons tous nos résultats qui concernent aussi bien le comportement asymptotique des solutions de diffusion lente que celui de problèmes de diffusion rapide. Dans le chapitre 3, nous démontrons de façon détaillée tous ces résultats. Les techniques que nous développons combinent la théorie des semi-groupes non linéaires et certains arguments de la théorie des systèmes dynamiques en dimension infinie. Une caractéristique importante de tous nos résultats de stabilisation est que nous mettons en évidence des taux de convergence des solutions vers l'attracteur global correspondant, et que ces taux de convergence peuvent être soit exponentiels soit polynomiaux, ceci dépendant fortement des propriétés structurelles des non linéarités et des conditions initiales.
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DANS CETTE THESE, NOUS REGROUPONS QUATRE ARTICLES DANS LESQUELS, NOUS ETUDIONS DIVERS ASPECTS MATHEMATIQUES DE PROBLEMES PARABOLIQUES FORTEMENT DEGENERES EN UNE DIMENSION D'ESPACE. DANS LE PREMIER ET LE SECOND ARTICLE NOUS ETUDIONS UNE EQUATION GENERALE DE TYPE PARABOLIQUE POUVANT DEGENEREE EN HYPERBOLIQUE DU PREMIER ORDRE POUR CERTAINES VALEURS DES VARIABLES. DANS LE PREMIER ARTICLE, NOUS DEVELOPPONS UNE NOTION DE SOLUTION ENTROPIQUE DU PROBLEME STATIONNAIRE ASSOCIE A CETTE EQUATION. CECI NOUS PERMET, SUIVANT LA THEORIE DES SEMI-GROUPE NON LINEAIRE DANS UN ESPACE DE BANACH, D'ASSOCIER AUX DONNEES UN OPERATEUR DE CET ESPACE DE BANACH. NOUS MONTRONS QUE CET OPERATEUR EST FORTEMENT ACCRETIF A DOMAINE DENSE ET VERIFIE LA CONDITION D'IMAGE. DANS LE SECOND ARTICLE, NOUS ETABLISSONS DES RESULTATS D'EXISTENCE, D'UNICITE ET DE DEPENDANCE CONTINUE PAR RAPPORT AUX DONNEES, D'UNE BONNE SOLUTION DU PROBLEME DE CAUCHY OU DE PROBLEMES AUX LIMITES ASSOCIES A CETTE EQUATION SOUS DES HYPOTHESES TRES GENERALES SUR LES DONNEES. AVEC DES HYPOTHESES COMPLEMENTAIRES, NOUS MONTRONS QUE CETTE BONNE SOLUTION EST SOLUTION ENTROPIQUE ; NOUS ETUDIONS L'UNICITE DES SOLUTIONS FAIBLES ET L'EXISTENCE DE SOLUTION FORTE. LE TROISIEME ARTICLE EST CONSACRE AU CAS PARTICULIER DE LA DEPENDANCE CONTINUE DES BONNES SOLUTIONS PAR RAPPORT AU DOMAINE. DANS LE QUATRIEME ET DERNIER ARTICLE DE CE TRAVAIL, NOUS ETUDIONS LE COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE POUR DES TEMPS GRANDS, DES SOLUTIONS DE L'EQUATION DANS LE CAS QUASI-LINEAIRE. NOUS MONTRONS QUE LE PROBLEME DE DIRICHLET ASSOCIE A CETTE EQUATION EST DE TYPE GRADIENT A L'AIDE DE FONCTIONNELLE DE LYAPUNOV
Author: Marc Falliero Publisher: ISBN: Category : Languages : fr Pages : 114
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Le but de ce travail est d'étudier le comportement asymptotique, en temps, des solutions d'équations paraboliques dégénérées, non linéaires, sur un domaine borné de Þ2 ou Þ3. L'objectif est de trouver des conditions suffisantes assurant l'existence d'une solution bornée et l'unicité de l'élément è-limite qui est une solution stationnaire du problème considéré. L'étude des propriétés de solutions d'équations aux dérivées partielles, globales en temps, est facilitée si la variable d'espace décrit une boule, les solutions considérées étant de plus à symétrie radiale. Effectivement les solutions ne dépendent alors que d'une seule variable d'espace, la variable radiale, ce qui conduit à reformuler les problèmes étudiés dans un cadre monodimensionnel. On étudie donc d'abord le cas où le domaine et la donnée initiale sont à symétrie radiale, puis on utilise des techniques dites de symétrisation pour étendre au cas général certains des résultats obtenus dans le cas symétrique. En particulier lorsque le domaine est une boule, la donnée initiale étant quelconque, on établit que l'élément è-limite est à symétrie radiale. On met aussi en place des conditions suffisantes sur les données pour qu'il y ait convergence vers 0.
Author: Paul Sauvy Publisher: ISBN: Category : Languages : fr Pages : 0
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Cette thèse s'inscrit dans le domaine mathématique de l'analyse des équations aux dérivées partielles non-linéaires. Plus précisément, nous avons fait ici l'étude de problèmes quasi-linéaires singuliers. Le terme "singulier" fait référence à l'intervention d'une non-linéarité qui explose au bord du domaine où 'équation est posée. La présence d'une telle singularité entraîne un manque de régularité et donc de compacité des solutions qui ne nous permet pas d'appliquer directement les méthodes classiques de l'analyse non-linéaire pour démontrer l'existence de solutions et discuter des propriétés de régularité et de comportement asymptotique de ces solutions. Pour contourner cette difficulté, nous sommes amenés à établir des estimations a priori très fines au voisinage du bord du domaine en combinant diverses méthodes : méthodes de monotonie (reliée au principe du maximum), méthodes variationnelles, argument de convexité, méthodes de point fixe et semi-discrétisation en temps. A travers, l'étude de trois problèmes-modèle faisant intervenir l'opérateur p-Laplacien, nous avons montré comment ces différentes méthodes pouvaient être mises en œuvre. Les résultats que nous avons obtenus sont décrits dans les trois chapitres de cette thèse : Dans le Chapitre I, nous avons étudié un problème d'absorption elliptique singulier. En utilisant des méthodes de sur- et sous solutions et des méthodes variationnelles, nous établissons des résultats d'existence de solutions. Par des méthodes de comparaison locale, nous démontrons également la propriété de support compact de ces solutions, pour de fortes singularités. Dans le Chapitre II, nous étudions le cas d'un système d'équations quasi-linéaires singulières. Par des arguments de point fixe et de monotonie, nous démontrons deux résultats généraux d'existence de solutions. Dans un deuxième temps, nous faisons une analyse plus détaillée de systèmes du type Gierer-Meinhardt modélisant des phénomènes biologiques. Des résultats d'unicité ainsi que des estimations précises sur le comportement des solutions sont alors obtenus. Dans le Chapitre III, nous faisons l'étude d'un problème d'absorption, parabolique singulier. Nous établissons par une méthode de semi-discrétisation en temps des résultats d'existence de solutions. Grâce à des inégalités d'énergie, nous démontrons également l'extinction en temps fini de ces solutions.
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LES RESULTATS PRESENTES DANS CETTE THESE FONT L'OBJET DE TROIS PARTIES INDEPENDANTES. LA 1ERE CONCERNANT DES PROBLEMES ELLIPTIQUES OU PARABOLIQUES ET LES 2 AUTRES CONSACRES A UNE EQUATION DES ONDES AVEC DISSIPATION NON LINEAIRE. 1ERE PARTIE: ON ETABLIT UN THEOREME DE VALEURS INTERMEDIAIRES POUR LES FONCTIONS W**(1,P) QUEL QUE SOIT P, CE QUI NOUS PERMET D'EN DEDUIRE LES CONDITIONS NECESSAIRES ET SUFFISANTES D'EXISTENCE DE SOLUTIONS MULTIPLES POUR DES PROBLEMES ELLIPTIQUES SEMI-LINEAIRES DE TYPE MONOTONE AVEC CONDITIONS AUX LIMITES DE NEUMANN, AINSI QUE LES RESULTATS DU MEME TYPE POUR LES SOLUTIONS PERIODIQUES EN DES PROBLEMES PARABOLIQUES CORRESPONDANTS. 2EME PARTIE: ON DEMONTRE QUE L'EQUATION DES ONDES NON LINEAIRE ADMET UNE SEULE SOLUTION PRESQUE-PERIODIQUE DANS L'ENSEMBLE DES SOLUTIONS FAIBLES VERIFISANT LA CONDITION SUPPLEMENTAIRE U::(T) EST CONTINUE EN (T,X). 3EME PARTIE: ON ETUDIE LE COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE DES SOLUTIONS DE L'EQUATION DES ONDES AVEC DISSIPATION NON LINEAIRE OU LE TERME DISSIPATIF G EST UNE FONCTION CONTINUE CROISSANTE. EN REPRENANT LES NOUVELLES TECHNIQUES DE COMPARAISON DES SOLUTIONS DES EQUATIONS DIFFERENTIELLES INTRODUITES PAR A, H ET Z, ON OBTIENT POUR DES FONCTIONS G A CROISSANCE POLYNOMIALES DES ESTIMATIONS FINIES SUR LA CONVERGENCE VERS 0 DE L'ENERGIE DES SOLUTIONS: DECROISSANCE EN T**(-)ALPHA OU EXPONENTIELLE, CECI DANS LE CAS AUTONOME. DANS LE CAS NON AUTONOME, ON MONTRE QUE L'ENERGIE DE LA DIFFERENCE DE DEUX SOLUTIONS EST A DECROISSANCE EXPONENTIELLE
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LE BUT DE CE TRAVAIL EST L'ETUDE DE L'EXISTENCE GLOBALE, L'EXPLOSION ET LE COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE DES SOLUTIONS DE CERTAINS EQUATIONS ET SYSTEMES PARABOLIQUES NONLINEAIRES DU DEUXIEME ORDRE. ON DONNE DES CONDITIONS SOUS LESQUELLES LES SOLUTIONS DE CES EQUATIONS ET SYSTEMES EXISTENT GLOBALEMENT, TENDENT VERS ZERO OU EXPLOSENT EN TEMPS FINI. ON ETUDIE AUSSI L'ENSEMBLE D'EXPLOSION AINSI QUE LE COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE PRES DU TEMPS D'EXPLOSION DE CERTAINES SOLUTIONS QUI EXPLOSENT. ON EFFECTUE EGALEMENT DES ETUDES SUR LE COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE DES SOLUTIONS QUI TENDENT VERS ZERO ET DES SOLUTIONS GLOBALES. COMME APPLICATIONS, ON ETUDIE CERTAINS PROBLEMES DE QUENCHING ET ON DECRIT LE COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE DES SOLUTIONS QUI TENDENT VERS ZERO D'UNE EQUATION ELLIPTIQUE SEMI-LINEAIRE AVEC DES CONDITIONS AU BORD NONLINEAIRES. CERTAINES DES METHODES QU'ON UTILISE SONT BASEES SUR DES CONSTRUCTIONS DE SOUS SOLUTIONS, SUR SOLUTIONS ET D'APPLICATIONS CONVENABLE DU PRINCIPE DE MAXIMUM.
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Le travail presenté ici porte sur l'étude du comportement asymptotique quand T tend vers +infini de la solution d'une équation parabolique semi-linéaire ou beta est un opérateur maximal monotone de R. Dans la 1ere partie l'ouvert omega est suppose borné et U s'annule sur delta omega . On montre qu'il y a 3 types de comportements asymptotiques.
Author: Benjamin Bergé Publisher: ISBN: Category : Languages : fr Pages : 136
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Dans cette thèse nous étudions une classe de problèmes issus de la dynamique des populations et modélisés par des équations aux dérivées partielles paraboliques stochastiques semilinéaires dirigées par un processus de Wiener en dimension finie. Dans le premier chapitre nous évoquons le cheminement historique des idées qui ont conduit à cette étude et nous formulons des hypothèses générales de travail. Dans le deuxième chapitre, nous présentons une construction de l'intégrale stochastique au sens d'Itô d'une classe de processus à valeurs dans un espace de Hilbert. Nous y introduisons également une classe d'équations auxiliaires et nous prouvons l'existence et l'unicité d'une solution variationnelle pour cette classe. Dans le troisième chapitre nous établissons un principe de comparaison pour la classe en question, ce qui nous permet en fin de compte de prouver l'existence et l'unicité d'une solution variationnelle pour le problème de départ. Nous montrons par ailleurs que notre méthode de démonstration s'applique également bien à l'établissement d'un principe de comparaison pour les équations différentielles stochastiques ordinaires et les équations aux dérivées partielles déterministes, ce qui conduit à un traitement unifié de tous ces cas. Dans le quatrième et dernier chapitre nous étudions le comportement asymptotique d'une telle solution lorsque la variable temporelle tend vers l'infini. Nous y prouvons l'existence d'un attracteur global et nous y dégageons des conditions permettant la détermination explicite des exposants de Lyapunov relatifs aux diverses composantes de cet attracteur. Nous interprétons également certains de nos résultats dans le contexte de la génétique des populations. Dans l'annexe nous démontrons une nouvelle formule d'Itô relative à une classe de processus à valeurs dans un espace de Hilbert.
Author: Mimoun Benmimoun
Author: Mimoun Benmimoun
Author: Hamidou Touré
Author: Marc Falliero
Author: Chokri Abdelkafi (auteur d'une thèse de sciences.)
Author: Paul Sauvy
Author: Amina Chabi
Author: KOUASSI THEODORE.. BONI
Author: Abdelilah Gmira
Author: Benjamin Bergé