Existence et approximation des solutions d'un systeme semi-lineaire parabolique sur un domaine non borne PDF Download

Author: Dolly Fayad
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Author: DOLLY.. FAYAD KHUWAIRY
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ON PROUVE L'EXISTENCE DE SOLUTIONS DU SYSTEME PARABOLIQUE #TU-#2#X#XU=-AU#PV#Q, #TV-#2#X#XV=-BU#PV#Q, POUR T0, X0 OU (U(0), V(0)) SONT DONNES. ON DONNE LES ESTIMATIONS D'ERREUR POUR LES ALGORITHMES: EULER EXPLICITE, EULER IMPLICITE, CRANCK NICHOLSON, METH. ELEMENTS FINIS. LE POINT IMPORTANT EST L'ESTIMATION D'ERREUR DUE A LA TRONCATURE DU DOMAINE

Author: Watson
Publisher: Routledge
ISBN: 1351425900
Category : Mathematics
Languages : en
Pages : 312

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This book focuses on solutions of second order, linear, parabolic, partial differentialequations on an infinite strip-emphasizing their integral representation, their initialvalues in several senses, and the relations between these.Parabolic Equations on an Infinite Strip provides valuable information-previously unavailable in a single volume-on such topics as semigroup property.. . the Cauchy problem ... Gauss-Weierstrass representation . .. initial limits .. .normal limits and related representation theorems ... hyperplane conditions .. .determination of the initial measure .. . and the maximum principle. It also exploresnew, unpublished results on parabolic limits . . . more general limits ... and solutionssatisfying LP conditions.Requiring only a fundamental knowledge of general analysis and measure theory, thisbook serves as an excellent text for graduate students studying partial differentialequations and harmonic analysis, as well as a useful reference for analysts interested inapplied measure theory, and specialists in partial differential equations.

Author: Mohamed Karimou Gazibo
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Languages : fr
Pages : 223

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Cette thèse est centrée autour de l’étude théorique et de l’analyse numérique des équations paraboliques non linéaires avec divers conditions aux limites. La première partie est consacrée aux équations paraboliques dégénérées mêlant des phénomènes non-linéaires de diffusion et de transport. Nous définissons des notions de solutions entropiques adaptées pour chacune des conditions aux limites (flux nul, Robin, Dirichlet). La difficulté principale dans l’étude de ces problèmes est due au manque de régularité du flux pariétal pour traiter les termes de bords. Ceci pose un problème pour la preuve d’unicité. Pour y remédier, nous tirons profit du fait que ces résultats de régularités sur le bord sont plus faciles à obtenir pour le problème stationnaire et particulièrement en dimension un d’espace. Ainsi par la méthode de comparaison "fort-faible" nous arrivons à déduire l’unicité avec le choix d’une fonction test non symétrique et en utilisant la théorie des semi-groupes non linéaires.L’existence de solution se démontre en deux étapes, combinant la méthode de régularisation parabolique et les approximations de Galerkin. Nous développons ensuite une approche directe en construisant des solutions approchées par un schéma de volumes finis implicite en temps. Dans les deux cas, on combine les estimations dans les espaces fonctionnels bien choisis avec des arguments de compacité faible ou forte et diverses astuces permettant de passer à la limite dans des termes non linéaires. Notamment, nous introduisons une nouvelle notion de solution appelée solution processus intégrale dont l’objectif, dans le cadre de notre étude, est de pallier à la difficulté de prouver la convergence vers une solution entropique d’un schéma volumes finis pour le problème de flux nul au bord. La deuxième partie de cette thèse traite d’un problème à frontière libre décrivant la propagation d’un front de combustion et l’évolution de la température dans un milieu hétérogène. Il s’agit d’un système d’équations couplées constitué de l’équation de la chaleur bidimensionnelle et d’une équation de type Hamilton-Jacobi. L’objectif de cette partie est de construire un schéma numérique pour ce problème en combinant des discrétisations du type éléments finis avec les différences finies. Ceci nous permet notamment de vérifier la convergence de la solution numérique vers une solution onde pour un temps long. Dans un premier temps, nous nous intéressons à l’étude d’un problème unidimensionnel. Très vite,nous nous heurtons à un problème de stabilité du schéma. Cela est dû au problème de prise en compte de la condition de Neumann au bord. Par une technique de changement d’inconnue et d’approximation nous remédions à ce problème. Ensuite, nous adaptons cette technique pour la résolution du problème bidimensionnel. A l’aide d’un changement de variables, nous obtenons un domaine fixe facile pour la discrétisation. La monotonie du schéma obtenu est prouvée sous une hypothèse supplémentaire de propagation monotone qui exige que la frontière libre se déplace dans les directions d’un cône prescrit à l’avance.

Author: Abdelghani Roukbi
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Pages : 136

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Dans ce travail nous présentons des méthodes numériques pour la résolution de problèmes inverses gouvernés par des équations aux dérivées partielles semi-linéaires couplées avec des termes non linéaires discontinus. Un premier résultat a été obtenu concernant l'identification du coefficient de diffusion lorsque le flux relargué est observé. En mesurant le flux sur une partie du bord de domaine nous montrons pour un problème de dissolution-diffusion que le coefficient de diffusion est identifiable et nous proposons un algorithme numérique adapté à la discontinuité du terme non linéaire pour le calculer. L'autre sujet de ce travail concerne l'identification d'un polluant en phase liquide pouvant s'évaporer. Un modèle macroscopique décrivant l'évaporation d'une substance organique volatile dans un milieu poreux est proposé. En considérant un modèle mathématique à double porosités, nous identifions la concentration initiale du polluant en phase liquide. Nous mettons en place une méthode basée sur un développement asymptotique qui permet d'identifier la concentration initiale du polluant en phase liquide, le coefficient de diffusion et le coefficient d'échange entre les phases liquide et gazeuse. Ce problème d'identification est considéré comme un problème de contrôle optimal qu'on résout à l'aide d'une approche Lagrangienne. La difficulté principale de tels problèmes réside dans la non-linéarité de la variable d'état par rapport au contrôle. Mentionnons qu'un inconvénient important de cette méthode est qu'elle est coûteuse en temps de calcul pour calculer les solutions approchées

Author: Paul Sauvy
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Cette thèse s'inscrit dans le domaine mathématique de l'analyse des équations aux dérivées partielles non-linéaires. Plus précisément, nous avons fait ici l'étude de problèmes quasi-linéaires singuliers. Le terme "singulier" fait référence à l'intervention d'une non-linéarité qui explose au bord du domaine où 'équation est posée. La présence d'une telle singularité entraîne un manque de régularité et donc de compacité des solutions qui ne nous permet pas d'appliquer directement les méthodes classiques de l'analyse non-linéaire pour démontrer l'existence de solutions et discuter des propriétés de régularité et de comportement asymptotique de ces solutions. Pour contourner cette difficulté, nous sommes amenés à établir des estimations a priori très fines au voisinage du bord du domaine en combinant diverses méthodes : méthodes de monotonie (reliée au principe du maximum), méthodes variationnelles, argument de convexité, méthodes de point fixe et semi-discrétisation en temps. A travers, l'étude de trois problèmes-modèle faisant intervenir l'opérateur p-Laplacien, nous avons montré comment ces différentes méthodes pouvaient être mises en œuvre. Les résultats que nous avons obtenus sont décrits dans les trois chapitres de cette thèse : Dans le Chapitre I, nous avons étudié un problème d'absorption elliptique singulier. En utilisant des méthodes de sur- et sous solutions et des méthodes variationnelles, nous établissons des résultats d'existence de solutions. Par des méthodes de comparaison locale, nous démontrons également la propriété de support compact de ces solutions, pour de fortes singularités. Dans le Chapitre II, nous étudions le cas d'un système d'équations quasi-linéaires singulières. Par des arguments de point fixe et de monotonie, nous démontrons deux résultats généraux d'existence de solutions. Dans un deuxième temps, nous faisons une analyse plus détaillée de systèmes du type Gierer-Meinhardt modélisant des phénomènes biologiques. Des résultats d'unicité ainsi que des estimations précises sur le comportement des solutions sont alors obtenus. Dans le Chapitre III, nous faisons l'étude d'un problème d'absorption, parabolique singulier. Nous établissons par une méthode de semi-discrétisation en temps des résultats d'existence de solutions. Grâce à des inégalités d'énergie, nous démontrons également l'extinction en temps fini de ces solutions.

Author: Slim Tayachi
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Pages : 91

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Nous étudions les solutions autosimilaires a symétrie radiale de certaines équations semi-linéaires paraboliques avec terme de gradient non linéaire. La thèse se divise en deux parties indépendantes. Dans la première partie nous démontrons l'existence de solutions autosimilaires définies pour le temps positif, qui sont globales, strictement positives et avec données initiales singulières a l'origine. En particulier, ceci conduit à un résultat de non unicité pour le problème de Cauchy associe à ces équations dans certains espaces de Lebesgue et de Sobolev. Dans la deuxième partie, nous considérons le cas unidimensionnel et de plus le gradient est affecte d'une constante négative. Nous démontrons l'existence d'une solution autosimilaire non triviale définie pour le temps négatif. En particulier, ceci implique l'existence d'une solution explosive dont l'ensemble des points d'explosion est réduit à un seul point. Le profil final de cette solution au moment de l'explosion et au voisinage de ce point est différent de tous les profils possibles, dans le cas d'un seul point d'explosion, pour cette équation sans terme de gradient, à savoir l'équation de la chaleur avec terme de source

Author: Jana Alkhayal
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L'objet de cette thèse est d'étudier l'existence de solution pour une classe de systèmes d'évolution fortement couplés, ainsi que la limite singulière d'une équation aux dérivées partielles d'advection-réaction-diffusion.Au chapitre 1, nous d écrivons brièvement la dérivation d'un modèle d'intrusion saline pour des aquifères confinés et non confinés. Dans ce but nous nous appuyons sur la loi de Darcy et la loi de conservation de masse en négligeant l'effet de la dimension verticale.Au chapitre 2, nous considérons un système qui généralise le modèle d'intrusion saline dans des aquifères non confinés. C'est un système non linéaire parabolique dégénéré fortement couplé. Après avoir discrétisé en temps, gelé et tronqué des coefficients et finalement régularisé les équations, nous appliquons le théorème de Lax-Milgram pour prouver l'existence et l'unicité de la solution d'un problème linéaire associé. Nous appliquons ensuite un théorème du point fixe pour démontrer l'existence d'une solution du problème non linéaire approché. Nous obtenons de plus une estimation d'entropie, qui permet en particulier de démontrer la positivité de la solution. Finalement, nous passons à la limite dans le système et dans l'entropie pour prouver l'existence de solution pour le problème initial.Au chapitre 3, nous montrons l'existence de solution pour un système qui contient en particulier le modèle d'intrusion saline dans des aquifères confinés. Ce système est semblable au système du chapitre 2, mais la pression intervient comme inconnue supplémentaire. Il se rajoute la contrainte que la somme des hauteurs inconnues est une fonction donnée et la pression est en fait un multiplicateur de Lagrange associé à cette contrainte. Nous obtenons de nouveau une inégalité d'entropie et nous effectuons également une estimation sur le gradient de la pression.Au chapitre 4, nous nous intéressons à la description d'interfaces abruptes qui se déplacent selon un mouvement donné, par exemple le mouvement par courbure moyenne. Des singularités peuvent apparaître en temps fini ce qui explique la nécessité de définir une nouvelle notion de surface. Dans ce chapitre, on introduit la notion de "varifolds", ou surfaces généralisées, qui étendent la notion de "manifolds". A ces varifolds on associe une courbure moyenne généralisée ainsi qu'une vitesse normale généralisée.Au chapitre 5, nous considérons une équation d'advection-réaction-diffusion qui intervient dans un système de chimiotaxie-croissance proposé par Mimura et Tsujikawa. L'inconnue est la densité de population qui est soumise aux effets de diffusion et de croissance et qui a tendance à migrer vers des forts gradients de la substance chimiotactique. Quand un petit paramètre tend vers zéro, la solution converge vers une fonction étagée ; l'interface diffuse associée converge vers une interface abrupte qui se déplace selon un mouvement par courbure moyenne perturbé. Nous représentons ces interfaces par des varifolds définis à partir de la fonctionnelle de Lyapunov du problème d'Allen-Cahn. Nous établissons une formule de monotonie et nous montrons une propriété d'équipartition de l'énergie. Nous prouvons de plus que le varifold est rectifiable et que la fonction de multiplicité associée est presque partout entière.

Author: Abdelhafid Mokrane
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Pages : 128

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EXISTENCE DE SOLUTIONS BORNEES POUR CERTAINES EQUATIONS PARABOLIQUES NON LINEAIRES. EXISTENCE DE SOLUTIONS POUR UN SYSTEME ELLIPTIQUE QUASI LINEAIRE A CROISSANCE QUADRATIQUE GRACE A UNE BORNE LINFINI PETITE. EXISTENCE DE SOLUTIONS POUR UN SYSTEME ELLIPTIQUE QUASI LINEAIRE AVEC UN SECOND MEMBRE A CROISSANCE QUADRATIQUE AYANT UNE STRUCTURE PARTICULIERE

Author: Brahim Bougherara
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Cette thèse s'inscrit dans le domaine mathématique de l'analyse des équations aux dérivées partielles non linéaires. Précisément, nous nous sommes intéressés à une classe de problèmes elliptiques et paraboliques avec coefficients singuliers. Ce manque de régularité pose un certain nombre de difficultés qui ne permettent pas d'utiliser directement les méthodes classiques de l'analyse non-linéaire fondées entre autres sur des résultats de compacité. Dans les démonstrations des principaux résultats, nous montrons comment pallier ces difficultés. Ceci suppose d'adapter certaines techniques bien connues mais aussi d'introduire de nouvelles méthodes. Dans ce contexte, une étape importante est l'estimation fine du comportement des solutions qui permet d'adapter le principe de comparaison faible, d'utiliser la régularité elliptique et parabolique et d'appliquer dans un nouveau contexte la théorie globale de la bifurcation analytique. La thèse se présente sous forme de deux parties indépendantes. 1- Dans la première partie (chapitre I de la thèse), nous avons étudié un problème quasi-linéaire parabolique fortement singulier faisant intervenir l'opérateur p-Laplacien. On a démontré l'existence locale et la régularité de solutions faibles. Ce résultat repose sur des estimations a priori obtenues via l'utilisation d'inégalités de type log-Sobolev combinées à des inégalités de Gagliardo-Nirenberg. On démontre l'unicité de la solution pour un intervalle de valeurs du paramètre de la singularité en utilisant un principe de comparaison faible fondé sur la monotonie d'un opérateur non linéaire adéquat. 2- Dans la deuxième partie (correspondant aux Chapitres II, III et IV de la thèse), nous sommes intéressés à l'étude de problèmes de bifurcation globale. On a établi pour ces problèmes l'existence de continuas non bornés de solutions qui admettent localement une paramétrisation analytique. Pour établir ces résultats, nous faisons appel à différents outils d'analyse non linéaire. Un outil important est la théorie analytique de la bifurcation globale qui a été introduite par Dancer (voir Chapitre II de la thèse). Pour un problème semi linéaire elliptique avec croissance critique en dimension 2, on montre que les solutions le long de la branche convergent vers une solution singulière (solution non bornée) lorsque la norme des solutions converge vers l'infini. Par ailleurs nous montrons que la branche admet une infinité dénombrable de "points de retournement" correspondant à un changement de l'indice de Morse des solutions qui tend vers l'infini le long de la branche.