Étude Qualitative de Trois Problèmes Paraboliques Non-linéaires PDF Download
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Author: Carlos Esteve yague Publisher: ISBN: Category : Languages : en Pages : 207
Book Description
This thesis is concerned with the study of three nonlinear parabolic problems : We start with a mathematical model for a micro-electro-mechanical system (MEMS) with variable dielectric permittivity. The model is based on a parabolic equation with singular nonlinearity which describes the dynamic deffection of an elastic plate under the effect of an electrostatic potential. We study the touchdown, or quenching, phenomenon. With the aim of controlling the touchdown set, we give results concerning the touchdownl ocalization in terms of the permittivity profile. In the second part of the thesis, we study a diffusive Hamilton-Jacobi equation in a bounded domain with zero Dirichlet boundary conditions. We analyze the gradient blow-up (GBU) that solutions can exhibit on the boundary of the domain. In a previous work, it was shown that single-point GBU solutions can be constructed in very particular domains, namely, locally fat domains and disks. We prove the existence of this kind ofsolutions for a large family of domains, for which the curvature of the domain may be nonconstant near the GBU point. In the last part of the thesis, we study the evolution problem associated to the j-th eigenvalue of the Hessian matrix. First, we show the existence of a (unique) viscosity solution, which can be approximated by the value function of a two-player zero-sumgame as the step length of the game goes to zero. Then, we show that solutions to this evolution problem converge exponentially fast to the unique stationary solution as t goes to ∞. Finally, we show that in some special cases (for affine boundary data) the solution coincides with the stationary solution in finite time.
Author: Carlos Esteve yague Publisher: ISBN: Category : Languages : en Pages : 207
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This thesis is concerned with the study of three nonlinear parabolic problems : We start with a mathematical model for a micro-electro-mechanical system (MEMS) with variable dielectric permittivity. The model is based on a parabolic equation with singular nonlinearity which describes the dynamic deffection of an elastic plate under the effect of an electrostatic potential. We study the touchdown, or quenching, phenomenon. With the aim of controlling the touchdown set, we give results concerning the touchdownl ocalization in terms of the permittivity profile. In the second part of the thesis, we study a diffusive Hamilton-Jacobi equation in a bounded domain with zero Dirichlet boundary conditions. We analyze the gradient blow-up (GBU) that solutions can exhibit on the boundary of the domain. In a previous work, it was shown that single-point GBU solutions can be constructed in very particular domains, namely, locally fat domains and disks. We prove the existence of this kind ofsolutions for a large family of domains, for which the curvature of the domain may be nonconstant near the GBU point. In the last part of the thesis, we study the evolution problem associated to the j-th eigenvalue of the Hessian matrix. First, we show the existence of a (unique) viscosity solution, which can be approximated by the value function of a two-player zero-sumgame as the step length of the game goes to zero. Then, we show that solutions to this evolution problem converge exponentially fast to the unique stationary solution as t goes to ∞. Finally, we show that in some special cases (for affine boundary data) the solution coincides with the stationary solution in finite time.
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Cette thèse est centrée autour de l’étude théorique et de l’analyse numérique des équations paraboliques non linéaires avec divers conditions aux limites. La première partie est consacrée aux équations paraboliques dégénérées mêlant des phénomènes non-linéaires de diffusion et de transport. Nous définissons des notions de solutions entropiques adaptées pour chacune des conditions aux limites (flux nul, Robin, Dirichlet). La difficulté principale dans l’étude de ces problèmes est due au manque de régularité du flux pariétal pour traiter les termes de bords. Ceci pose un problème pour la preuve d’unicité. Pour y remédier, nous tirons profit du fait que ces résultats de régularités sur le bord sont plus faciles à obtenir pour le problème stationnaire et particulièrement en dimension un d’espace. Ainsi par la méthode de comparaison "fort-faible" nous arrivons à déduire l’unicité avec le choix d’une fonction test non symétrique et en utilisant la théorie des semi-groupes non linéaires.L’existence de solution se démontre en deux étapes, combinant la méthode de régularisation parabolique et les approximations de Galerkin. Nous développons ensuite une approche directe en construisant des solutions approchées par un schéma de volumes finis implicite en temps. Dans les deux cas, on combine les estimations dans les espaces fonctionnels bien choisis avec des arguments de compacité faible ou forte et diverses astuces permettant de passer à la limite dans des termes non linéaires. Notamment, nous introduisons une nouvelle notion de solution appelée solution processus intégrale dont l’objectif, dans le cadre de notre étude, est de pallier à la difficulté de prouver la convergence vers une solution entropique d’un schéma volumes finis pour le problème de flux nul au bord. La deuxième partie de cette thèse traite d’un problème à frontière libre décrivant la propagation d’un front de combustion et l’évolution de la température dans un milieu hétérogène. Il s’agit d’un système d’équations couplées constitué de l’équation de la chaleur bidimensionnelle et d’une équation de type Hamilton-Jacobi. L’objectif de cette partie est de construire un schéma numérique pour ce problème en combinant des discrétisations du type éléments finis avec les différences finies. Ceci nous permet notamment de vérifier la convergence de la solution numérique vers une solution onde pour un temps long. Dans un premier temps, nous nous intéressons à l’étude d’un problème unidimensionnel. Très vite,nous nous heurtons à un problème de stabilité du schéma. Cela est dû au problème de prise en compte de la condition de Neumann au bord. Par une technique de changement d’inconnue et d’approximation nous remédions à ce problème. Ensuite, nous adaptons cette technique pour la résolution du problème bidimensionnel. A l’aide d’un changement de variables, nous obtenons un domaine fixe facile pour la discrétisation. La monotonie du schéma obtenu est prouvée sous une hypothèse supplémentaire de propagation monotone qui exige que la frontière libre se déplace dans les directions d’un cône prescrit à l’avance.
Author: Bruno Lovat Publisher: ISBN: Category : Languages : fr Pages : 0
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Ce travail consiste à étudier une catégorie de problèmes non locaux et non linéaires de type parabolique. Dans ces équations, les coefficients dépendent de la solution au travers de quantités globales, comme la masse totale du corps considéré, le flux ou l'énergie totale (pour les problèmes liés à la physique), ou encore la densité totale (en dynamique des populations). Outre l'existence et l'unicité des solutions locales et globales, nous établissons le comportement asymptotique de ces solutions et étudions leur stabilité
Author: Laurent David Cohen Publisher: ISBN: Category : Languages : fr Pages : 132
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ETUDE DE L'EXPLOSION TOTALE APRES TMAX POUR L'EQUATION DE LA CHALEUR NON LINEAIRE. APPROXIMATION DE LA SOLUTION PAR UNE SUITE DE SOLUTIONS GLOBALES DE LA MEME EQUATION AVEC POUR SECONDS MEMBRES UNE SUITE DE FONCTIONS LIPSCHITZIENNES APPROCHANT LA NON-LINEARITE. EXPLOSION EN TEMPS FINI POUR LES EQUATIONS DE SCHROEDINGER ET DE LA CHALEUR A SECOND MEMBRE POLYNOMIAL. ESTIMATIONS SUR LE COMPORTEMENT DES SOLUTIONS DES EQUATIONS ELLIPTIQUES NON-LINEAIRES SUR LA BOULE UNITE QUAND LA VALEUR MAXIMALE TEND VERS L'INFINI
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ETUDE DES PROBLEMES AUX LIMITES POUR DES SYSTEMES DONT LES SECONDS MEMBRES VERIFIENT UNE PROPRIETE DE LIPSCHITZ LOCALE SUPERIEURE UNIFORME ET SOUS L'HYPOTHESE D'EXISTENCE DE PSEUDO-SURSOLUTION. ETABLISSEMENT D'UN THEOREME D'EXISTENCE ET D'UNICITE D'UNE SOLUTION BORNEE NON NEGATIVE. ETUDE DES EFFETS REGULARISANTS SUR CETTE SOLUTION. CONVERGENCE DE LA SOLUTION VERS UNE SOLUTION DU PROBLEME ELLIPTIQUE ASSOCIE. APPROXIMATION DU PROBLEME PAR DIFFERENCES FINIES SUIVANT LE TEMPS ET PAR ELEMENTS FINIS SUIVANT LES VARIABLES D'ESPACE
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L’objectif de ce travail est l’étude du problème non linéaire de type pseudo parabolique suivant : trouver une fonction mesurable u de Q:=]0,T[\times \Omega à valeur réelle, solution du problème \begin{equation*}\left\{\begin{array}{l@{\quad}l}f\left(t,x,u_t\right)-Div \left\{a\left(x,u,u_t\right)\nabla u+b\left(x,u,u_t\right)\nabla u_t \right\}=g(t,x), \; (t,x)\in Q, \\ u(t,x)=0,\; (t,x)\in ]0,T[\times \partial \Omega, \\ u(0,x)=u_0, \; x\in \Omega,\\ \end{array}\right. \end{equation*} où l’opérateur de Nemystkii associé à la fonction f est monotone. Un premier chapitre est consacré à l’étude de l’existence d’une solution pour le problème ci-dessus. Pour cela, on utilise une méthode de semi-discrétisation implicite en temps. L’existence des itérés repose sur le théorème de point fixe de Schauder-Tikhonov et la convergence du schéma sur un outil de compacité adapté à la situation. À la fin du chapitre, on propose des applications à l’équation de Barenblatt et au cas d’un d'un f multivoque. Dans le second chapitre, on s’intéresse au problème de Barenblatt pseudo-parabolique : rechercher une fonction mesurable u de Q à valeur réelle telle que \begin{equation*} \left\{ \begin{array}{l@{\quad}l} f\left(u_t \right)-\Delta u-\epsilon \Delta u_t=g(t,x), \; (t,x)\in Q, \\ u(t,x)=0,\; (t,x)\in ]0,T[\times \partial \Omega, \\ u(0,x)=u_0, \; x\in \Omega,\\ \end{array} \right. \end{equation*} où f n’est pas nécessairement monotone. Pour \epsilon> \epsilon_0>0 , où \epsilon_0 est une valeur critique, on montre que le problème est bien posé en utilisant une méthode similaire à celle du premier chapitre. Pour la valeur critique, le problème admet au plus une solution ; cette dernière existe moyennant une hypothèse supplémentaire sur f. Enfin, si 0
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DANS CETTE THESE, NOUS REGROUPONS QUATRE ARTICLES DANS LESQUELS, NOUS ETUDIONS DIVERS ASPECTS MATHEMATIQUES DE PROBLEMES PARABOLIQUES FORTEMENT DEGENERES EN UNE DIMENSION D'ESPACE. DANS LE PREMIER ET LE SECOND ARTICLE NOUS ETUDIONS UNE EQUATION GENERALE DE TYPE PARABOLIQUE POUVANT DEGENEREE EN HYPERBOLIQUE DU PREMIER ORDRE POUR CERTAINES VALEURS DES VARIABLES. DANS LE PREMIER ARTICLE, NOUS DEVELOPPONS UNE NOTION DE SOLUTION ENTROPIQUE DU PROBLEME STATIONNAIRE ASSOCIE A CETTE EQUATION. CECI NOUS PERMET, SUIVANT LA THEORIE DES SEMI-GROUPE NON LINEAIRE DANS UN ESPACE DE BANACH, D'ASSOCIER AUX DONNEES UN OPERATEUR DE CET ESPACE DE BANACH. NOUS MONTRONS QUE CET OPERATEUR EST FORTEMENT ACCRETIF A DOMAINE DENSE ET VERIFIE LA CONDITION D'IMAGE. DANS LE SECOND ARTICLE, NOUS ETABLISSONS DES RESULTATS D'EXISTENCE, D'UNICITE ET DE DEPENDANCE CONTINUE PAR RAPPORT AUX DONNEES, D'UNE BONNE SOLUTION DU PROBLEME DE CAUCHY OU DE PROBLEMES AUX LIMITES ASSOCIES A CETTE EQUATION SOUS DES HYPOTHESES TRES GENERALES SUR LES DONNEES. AVEC DES HYPOTHESES COMPLEMENTAIRES, NOUS MONTRONS QUE CETTE BONNE SOLUTION EST SOLUTION ENTROPIQUE ; NOUS ETUDIONS L'UNICITE DES SOLUTIONS FAIBLES ET L'EXISTENCE DE SOLUTION FORTE. LE TROISIEME ARTICLE EST CONSACRE AU CAS PARTICULIER DE LA DEPENDANCE CONTINUE DES BONNES SOLUTIONS PAR RAPPORT AU DOMAINE. DANS LE QUATRIEME ET DERNIER ARTICLE DE CE TRAVAIL, NOUS ETUDIONS LE COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE POUR DES TEMPS GRANDS, DES SOLUTIONS DE L'EQUATION DANS LE CAS QUASI-LINEAIRE. NOUS MONTRONS QUE LE PROBLEME DE DIRICHLET ASSOCIE A CETTE EQUATION EST DE TYPE GRADIENT A L'AIDE DE FONCTIONNELLE DE LYAPUNOV
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CETTE THESE EST CONSACREE A L'ETUDE DE PROBLEMES ELLIPTIQUES OU PARABOLIQUES NON LINEAIRES QUI SONT, D'UNE FACON GENERALE, MAL POSES DANS LE CADRE DES SOLUTIONS FAIBLES (C'EST-A-DIRE DES SOLUTIONS AU SENS DES DISTRIBUTIONS). POUR SURMONTER CETTE DIFFICULTE, ON VA S'INTERESSER A UNE AUTRE CLASSE DE SOLUTIONS : LES SOLUTIONS RENORMALISEES. CETTE NOTION A ETE INTRODUITE PAR R.-J. DI PERNA ET P.-L. LIONS POUR L'ETUDE DES EQUATIONS DE BOLTZMANN, ET LES EQUATIONS DU PREMIER ORDRE.
Author: Carlos Esteve yague
Author: Carlos Esteve yague
Author: Mohamed Karimou Gazibo
Author: Bruno Lovat
Author: Chokri Abdelkafi (auteur d'une thèse de sciences.)
Author: Laurent David Cohen
Author: Hamid Elouardi
Author: Philippe Souplet
Author: Ngonn Seam
Author: Hamidou Touré
Author: HICHAM.. REDWANE