Contribution à l'étude de solutions de viscosité d'équations paraboliques non linéaires PDF Download
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Author: Mariane Bourgoing Publisher: ISBN: Category : Languages : en Pages : 312
Book Description
Cette thèse a pour objet l'étude de solutions de viscosité d'équations paraboliques fortement non linéaires du second ordre. Dans une première partie, nous prouvons des résultats d'existence, d'unicité et de régularité de solutions non bornées d'équations paraboliques fortement non linéaires posées dans Rn, associées à des opérateurs continus. Dans une seconde partie, nous developpons la théorie des solutions de viscosité d'équations paraboliques fortement non linéaires pour des opérateurs à dependance L1 en temps, associées à des conditions de Neumann au bord.
Author: Mariane Bourgoing Publisher: ISBN: Category : Languages : en Pages : 312
Book Description
Cette thèse a pour objet l'étude de solutions de viscosité d'équations paraboliques fortement non linéaires du second ordre. Dans une première partie, nous prouvons des résultats d'existence, d'unicité et de régularité de solutions non bornées d'équations paraboliques fortement non linéaires posées dans Rn, associées à des opérateurs continus. Dans une seconde partie, nous developpons la théorie des solutions de viscosité d'équations paraboliques fortement non linéaires pour des opérateurs à dependance L1 en temps, associées à des conditions de Neumann au bord.
Book Description
Cette thèse est centrée autour de l’étude théorique et de l’analyse numérique des équations paraboliques non linéaires avec divers conditions aux limites. La première partie est consacrée aux équations paraboliques dégénérées mêlant des phénomènes non-linéaires de diffusion et de transport. Nous définissons des notions de solutions entropiques adaptées pour chacune des conditions aux limites (flux nul, Robin, Dirichlet). La difficulté principale dans l’étude de ces problèmes est due au manque de régularité du flux pariétal pour traiter les termes de bords. Ceci pose un problème pour la preuve d’unicité. Pour y remédier, nous tirons profit du fait que ces résultats de régularités sur le bord sont plus faciles à obtenir pour le problème stationnaire et particulièrement en dimension un d’espace. Ainsi par la méthode de comparaison "fort-faible" nous arrivons à déduire l’unicité avec le choix d’une fonction test non symétrique et en utilisant la théorie des semi-groupes non linéaires.L’existence de solution se démontre en deux étapes, combinant la méthode de régularisation parabolique et les approximations de Galerkin. Nous développons ensuite une approche directe en construisant des solutions approchées par un schéma de volumes finis implicite en temps. Dans les deux cas, on combine les estimations dans les espaces fonctionnels bien choisis avec des arguments de compacité faible ou forte et diverses astuces permettant de passer à la limite dans des termes non linéaires. Notamment, nous introduisons une nouvelle notion de solution appelée solution processus intégrale dont l’objectif, dans le cadre de notre étude, est de pallier à la difficulté de prouver la convergence vers une solution entropique d’un schéma volumes finis pour le problème de flux nul au bord. La deuxième partie de cette thèse traite d’un problème à frontière libre décrivant la propagation d’un front de combustion et l’évolution de la température dans un milieu hétérogène. Il s’agit d’un système d’équations couplées constitué de l’équation de la chaleur bidimensionnelle et d’une équation de type Hamilton-Jacobi. L’objectif de cette partie est de construire un schéma numérique pour ce problème en combinant des discrétisations du type éléments finis avec les différences finies. Ceci nous permet notamment de vérifier la convergence de la solution numérique vers une solution onde pour un temps long. Dans un premier temps, nous nous intéressons à l’étude d’un problème unidimensionnel. Très vite,nous nous heurtons à un problème de stabilité du schéma. Cela est dû au problème de prise en compte de la condition de Neumann au bord. Par une technique de changement d’inconnue et d’approximation nous remédions à ce problème. Ensuite, nous adaptons cette technique pour la résolution du problème bidimensionnel. A l’aide d’un changement de variables, nous obtenons un domaine fixe facile pour la discrétisation. La monotonie du schéma obtenu est prouvée sous une hypothèse supplémentaire de propagation monotone qui exige que la frontière libre se déplace dans les directions d’un cône prescrit à l’avance.
Author: Paul Sauvy Publisher: ISBN: Category : Languages : fr Pages : 0
Book Description
Cette thèse s'inscrit dans le domaine mathématique de l'analyse des équations aux dérivées partielles non-linéaires. Plus précisément, nous avons fait ici l'étude de problèmes quasi-linéaires singuliers. Le terme "singulier" fait référence à l'intervention d'une non-linéarité qui explose au bord du domaine où 'équation est posée. La présence d'une telle singularité entraîne un manque de régularité et donc de compacité des solutions qui ne nous permet pas d'appliquer directement les méthodes classiques de l'analyse non-linéaire pour démontrer l'existence de solutions et discuter des propriétés de régularité et de comportement asymptotique de ces solutions. Pour contourner cette difficulté, nous sommes amenés à établir des estimations a priori très fines au voisinage du bord du domaine en combinant diverses méthodes : méthodes de monotonie (reliée au principe du maximum), méthodes variationnelles, argument de convexité, méthodes de point fixe et semi-discrétisation en temps. A travers, l'étude de trois problèmes-modèle faisant intervenir l'opérateur p-Laplacien, nous avons montré comment ces différentes méthodes pouvaient être mises en œuvre. Les résultats que nous avons obtenus sont décrits dans les trois chapitres de cette thèse : Dans le Chapitre I, nous avons étudié un problème d'absorption elliptique singulier. En utilisant des méthodes de sur- et sous solutions et des méthodes variationnelles, nous établissons des résultats d'existence de solutions. Par des méthodes de comparaison locale, nous démontrons également la propriété de support compact de ces solutions, pour de fortes singularités. Dans le Chapitre II, nous étudions le cas d'un système d'équations quasi-linéaires singulières. Par des arguments de point fixe et de monotonie, nous démontrons deux résultats généraux d'existence de solutions. Dans un deuxième temps, nous faisons une analyse plus détaillée de systèmes du type Gierer-Meinhardt modélisant des phénomènes biologiques. Des résultats d'unicité ainsi que des estimations précises sur le comportement des solutions sont alors obtenus. Dans le Chapitre III, nous faisons l'étude d'un problème d'absorption, parabolique singulier. Nous établissons par une méthode de semi-discrétisation en temps des résultats d'existence de solutions. Grâce à des inégalités d'énergie, nous démontrons également l'extinction en temps fini de ces solutions.
Author: Carlos Esteve yague Publisher: ISBN: Category : Languages : en Pages : 207
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This thesis is concerned with the study of three nonlinear parabolic problems : We start with a mathematical model for a micro-electro-mechanical system (MEMS) with variable dielectric permittivity. The model is based on a parabolic equation with singular nonlinearity which describes the dynamic deffection of an elastic plate under the effect of an electrostatic potential. We study the touchdown, or quenching, phenomenon. With the aim of controlling the touchdown set, we give results concerning the touchdownl ocalization in terms of the permittivity profile. In the second part of the thesis, we study a diffusive Hamilton-Jacobi equation in a bounded domain with zero Dirichlet boundary conditions. We analyze the gradient blow-up (GBU) that solutions can exhibit on the boundary of the domain. In a previous work, it was shown that single-point GBU solutions can be constructed in very particular domains, namely, locally fat domains and disks. We prove the existence of this kind ofsolutions for a large family of domains, for which the curvature of the domain may be nonconstant near the GBU point. In the last part of the thesis, we study the evolution problem associated to the j-th eigenvalue of the Hessian matrix. First, we show the existence of a (unique) viscosity solution, which can be approximated by the value function of a two-player zero-sumgame as the step length of the game goes to zero. Then, we show that solutions to this evolution problem converge exponentially fast to the unique stationary solution as t goes to ∞. Finally, we show that in some special cases (for affine boundary data) the solution coincides with the stationary solution in finite time.
Author: Wolfgang Arendt Publisher: Birkhäuser ISBN: 3034879245 Category : Mathematics Languages : en Pages : 803
Book Description
Philippe Bénilan was a most original and charismatic mathematician who had a deep and decisive impact on the theory of Nonlinear Evolution Equations. Dedicated to him, Nonlinear Evolution Equations and Related Topics contains research papers written by highly distinguished mathematicians. They are all related to Philippe Benilan's work and reflect the present state of this most active field. The contributions cover a wide range of nonlinear and linear equations.
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Cette thèse a pour sujet l’étude de quelques équations aux dérivées partielles non linéaires. Elle traite aussi la contrôlabilité de certaines équations paraboliques dégénérées. Dans le premier chapitre, on rappelle quelques méthodes classiques pour la résolution de certains types d’équations faisant intervenir le p-Laplacien, en utilisant les notions de sur et sous-solutions. Ces méthodes présentent certaines difficultés liées surtout aux passages à la limite dans les termes non linéaires liés au p-Laplacien. Pour cela on propose dans le deuxième chapitre de résoudre ces équations en utilisant une méthode de point fixe basée sur le fameux théorème de « Browder-Potter » qui nous a permis d’éviter ces inconvénients. Dans le troisième chapitre, on étudie un problème d’évolution faisant apparaître le p-laplacien, on montre un résultat d’existence et d’unicité, on obtient des résultats sur le comportement asymptotique des solutions par rapport au temps en fonction de la donnée initiale. Dans le dernier chapitre, et dans le but de s’intéresser à un problème de contrôle non linéaire faisant apparaître le p-Laplacien, on étudie un problème de contrôle linéaire en dimension 1, on expose des résultats obtenus pour des problèmes paraboliques ayant une dégénérescence à l’intérieur du domaine.
Author: Mariane Bourgoing
Author: Mariane Bourgoing
Author: Philippe Souplet
Author: Mohamed Karimou Gazibo
Author: Chokri Abdelkafi (auteur d'une thèse de sciences.)
Author: Paul Sauvy
Author: Bernard Michel
Author: Carlos Esteve yague
Author: Thierry Horsin
Author: Wolfgang Arendt
Author: Ferid Beldi