Résolution des grands systèmes linéaires par décomposition des domaines et méthodes rapides PDF Download
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Book Description
L'efficacité des méthodes directes, dites rapides, de résolution de certains grands systèmes linéaires creux a été testée tout au long de ce travail. Se basant presque toutes sur un même procédé de calcul, la transformation de Fourier rapide, elles se regroupent en trois classes : l'analyse de Fourier, la réduction cyclique par blocs et la technique F.A.C.R (l) combinaison des deux précédentes. Exigeant la régularité de l'ouvert, des comparaisons avec des méthodes existantes classiques ont tout d'abord été établies sous cette contrainte. Au vu des résultats très concluants, des démarches permettant de travailler dans des domaines plus généraux ont été mises en œuvre : technique de la matrice de capacitance, couplages méthode itérative par blocs/méthode rapide. Le raffinement d'une partie du maillage de l'ouvert a été également envisagé. La structure même des ouverts étudiés privilégiant la méthode semi-directe, c'est cette association qui a été choisie comme algorithme témoin lors des derniers essais numériques comparatifs.
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L'efficacité des méthodes directes, dites rapides, de résolution de certains grands systèmes linéaires creux a été testée tout au long de ce travail. Se basant presque toutes sur un même procédé de calcul, la transformation de Fourier rapide, elles se regroupent en trois classes : l'analyse de Fourier, la réduction cyclique par blocs et la technique F.A.C.R (l) combinaison des deux précédentes. Exigeant la régularité de l'ouvert, des comparaisons avec des méthodes existantes classiques ont tout d'abord été établies sous cette contrainte. Au vu des résultats très concluants, des démarches permettant de travailler dans des domaines plus généraux ont été mises en œuvre : technique de la matrice de capacitance, couplages méthode itérative par blocs/méthode rapide. Le raffinement d'une partie du maillage de l'ouvert a été également envisagé. La structure même des ouverts étudiés privilégiant la méthode semi-directe, c'est cette association qui a été choisie comme algorithme témoin lors des derniers essais numériques comparatifs.
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ON TRAITE DES METHODES DE RESOLUTION RAPIDE DE GRANDS SYSTEMES LINEAIRES, POUR UN PROBLEME ELLIPTIQUE POSE DANS UMN DOMAINE DE R**(2), FORME D'UN, PUIS DE PLUSIEURS RECTANGLES (DOMAINE EN L, EN "FOURCHE"). LE CAS D'UN DOMAINE QUELCONQUE EST ABORDE
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La complexification de la modélisation multi-physique conduit d'une part à devoir simuler des systèmes d'équations différentielles ordinaires et d'équations différentielles algébriques de plus en plus grands en nombre d'inconnues et sur des temps de simulation longs. D'autre part l'évolution des architectures de calcul parallèle nécessite d'autres voies de parallélisation que la décomposition de système en sous-systèmes. Dans ce travail, nous proposons de concevoir des méthodes de décomposition de domaine pour la résolution d'EDO en temps. Nous reformulons le problème à valeur initiale en un problème aux valeurs frontières sur l'intervalle de temps symétrisé, sous l'hypothèse de réversibilité du flot. Nous développons deux méthodes, la première apparentée à une méthode de complément de Schur, la seconde basée sur une méthode de type Schwarz dont nous montrons la convergence pouvant être accélérée par la méthode d'Aitken dans le cadre linéaire. Afin d'accélérer la convergence de cette dernière dans le cadre non-linéaire, nous introduisons les techniques d'extrapolation et d'accélération de la convergence des suites non-linéaires. Nous montrons les avantages et les limites de ces techniques. Les résultats obtenus nous conduisent à développer l'accélération de la méthode de type Schwarz par une méthode de Newton. Enfin nous nous intéressons à l'étude de conditions de raccord non-linéaires adaptées à la décomposition de domaine de problèmes non-linéaires. Nous nous servons du formalisme hamiltonien à ports, issu du domaine de l'automatique, pour déduire les conditions de raccord dans le cadre l'équation de Saint-Venant et de l'équation de la chaleur non-linéaire. Après une étude analytique de la convergence de la DDM associée à ces conditions de transmission, nous proposons et étudions une formulation de Lagrangien augmenté sous l'hypothèse de séparabilité de la contrainte.
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Ce travail porte sur l'étude des méthodes de décomposition de domaine et leur application pour résoudre des problèmes de contrôle optimal régis par des équations aux dérivées partielles. Le principe de ces méthodes consiste à ramener des problèmes de grande taille sur des géométries complexes en une suite de sous-problèmes de taille plus petite sur des géométries plus simples. En considérant une décomposition sans recouvrement, l'intérêt de ces méthodes pour les problèmes de contrôle optimal réside au niveau de l'intégration de l'équation d'état, puisqu'il est possible de partitionner le problème en une suite de problèmes plus petits, quitte à contraindre les interfaces entre les sous-domaines à obéir à des conditions de raccordement afin de déduire la solution globale à partir des solutions locales. Dans une première partie, nous étudions le cas elliptique. Nous considérons simultanément la minimisation de la fonction coût et des raccordements sur les frontières entre les sous-domaines. Cette combinaison de problèmes de minimisation et de méthodes de décomposition de domaine est traitée par des techniques de Lagrangien augmenté. Nous montrons que, sur le domaine décomposé, le problème initial se réduit à la recherche d'un point-selle. Une étude des méthodes de Lagrangien nous a permis de choisir une variante d'algorithmes existants dans la littérature et de les combiner avec un algorithme de décomposition de domaine. Dans la seconde partie, nous développons l'extension de cette approche aux problèmes de contrôle optimal régis par des systèmes paraboliques en considérant uniquement une décomposition en espace du domaine de calcul. Dans une dernière partie, nous considérons une décomposition de domaine avec recouvrement à chaque pas de la minimisation. D'une part, nous construisons un algorithme parallèle en utilisant la méthode de Schwarz multiplicative en tant que solveur. Ceci permet de déduire naturellement l'état adjoint par transposition des systèmes directs locaux. L'algorithme global défini par la méthode de minimisation de type quasi-Newton et ce solveur de Schwarz constitue une méthode robuste de résolution du problème de contrôle optimal, mais coûteuse. D'autre part, et plus particulièrement, pour des problèmes de grande taille, l'algorithme de type quasi-Newton, combiné avec le solveur de Krylov BiCGSTAB préconditionné par une méthode de Schwarz additive, est plus compétitif dans la mesure oû l'on obtient de bonnes performances parallèles. De nombreux résultats sont présentés pour préciser le comportement des algorithmes d'optimisation quand ils sont utilisés avec des méthodes de Schwarz
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L'objectif de ce travail est double : D'une part, la résolution à l'aide de la méthode de décomposition de domaine, de l'équation de Poisson et de l'équation de Helmholtz, avec donnée de Dirichlet homogène au bord. D'autre part, l'étude de l'équation de Laplace, avec donnée non linéaire g au bord en se basant sur la méthode du Min-Max. Dans la première partie, nous introduisons les outils indispensables sur lesquels nous nous sommes appuyés pour aborder les équations à résoudre et nous présentons deux méthodes indirectes de résolution de l'équation de Poisson: l'algorithme de Dirichlet-Neumann pénalisé barycentriquement et l'algorithme de Dirichlet-Neumann symétrisé, donné par le problème couplé. Le premier schéma a été proposé et démontré convergent par A. Quarteroni et A. Valli. Nous élaborons dans ce mémoire une nouvelle démonstration de convergence de l'algorithme. Le second schéma est nouveau : la condition de Dirichlet-Neumann est symétrisé. Nous montrons la convergence de cet algorithme vers le problème global. Les études théoriques ont montré que les deux méthodes discrétisées convergent et des estimations d'erreur portant sur l'ordre de la convergence ont été établies. Les résultats déjà trouvés ont été validés par les essais numériques, en utilisant le logiciel Comsol pour le maillage, avec le solveur de Matlab. Notons que l'algorithme symétrisé converge plus rapidement que celui pénalisé. Nous étudions ensuite le problème de Helmholtz avec données mixtes sur le bord actif, qui fournit le cadre du travail nécessaire pour examiner l'algorithme introduit par M.Balabane. Nous analysons les résultats théoriques obtenus et nous testons l'algorithme numériquement. Les essais décèlent une saturation de cette méthode pour le maillage considéré. De plus, cette méthode converge très lentement dans un voisinage de la fréquence résonnante. Une dégradation de la convergence est relevée quand la géométrie du domaine est complexe. Dans la deuxième partie, nous exposons une généralisation de l'étude faite par K. Medville et A. Vogelius, pour la résolution de l'équation de Laplace avec donnée non linéaire au bord. Dans le cas où la fonction est sous-linéaire, nous montrons que le problème admet au moins une solution. L'unicité est obtenue en imposant une condition de monotonie sur la fonction sous-linéaire. Dans le cas sur-linéaire, le nombre de solutions du problème dépend du signe du coefficient multipliant la fonction.
Author: Daniel F.. Ruiz Publisher: ISBN: Category : Languages : fr Pages : 132
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NOUS NOUS INTERESSONS A UNE VERSION PAR BLOCS DE LA METHODE DE CIMMINO POUR LA RESOLUTION DE SYSTEMES LINEAIRES CREUX CONSISTANTS. UNE ATTENTION PARTICULIERE EST PORTEE SUR LES MATRICES TRIDIAGONALES PAR BLOCS, POUR LESQUELLES NOUS MONTRONS COMMENT IL EST POSSIBLE DE REDUIRE LE NOMBRE D'ITERATIONS DU GRADIENT CONJUGUE, TOUT EN CONSERVANT UN BON DEGRE DE PARALLELISME. LES DIFFERENTS ASPECTS DE LA METHODE ONT ETE TESTES SUR UN ALLIANT FX/80 POSSEDANT HUIT PROCESSEURS. POUR DES MATRICES D'ITERATION QUI NE SONT PAS TROP MAL CONDITIONNEES, L'ALGORITHME DU GRADIENT CONJUGUE ACCELERE EFFICACEMENT LA CONVERGENCE DE LA METHODE. PAR CONTRE, POUR DES PROBLEMES MAL CONDITIONNES, LE GRADIENT CONJUGUE CLASSIQUE SE COMPORTE ASSEZ MAL A CAUSE D'UNE CONCENTRATION DE VALEURS PROPRES AUX EXTREMITES DU SPECTRE DE LA MATRICE D'ITERATION. AFIN DE PALLIER LES MAUVAISES CARACTERISTIQUES DE CE SPECTRE, D'AUTRES TECHNIQUES D'ACCELERATION, TELLES QUE LE GRADIENT CONJUGUE PAR BLOCS OU LA METHODE DE LANCZOS PAR BLOCS, SONT ETUDIEES. SUR CERTAINS EXEMPLES, CES TECHNIQUES PERMETTENT D'ATTEINDRE LA CONVERGENCE, ALORS QUE CECI EST IMPOSSIBLE AVEC LE GRADIENT CONJUGUE CLASSIQUE
Author: Brigitte Gest
Author: Brigitte Gest
Author: Béatrice Ravier
Author: Patrice Linel
Author: Gene Howard Golub
Author: Aïcha Bounaim
Author: Gihane Mansour
Author: École polytechnique (Montréal, Québec). Groupe d'analyse nucléaire
Author: 
Author: Daniel Ruiz (enseignant-chercheur en informatique).)
Author: Daniel F.. Ruiz