ETUDE DE QUELQUES PROBLEMES PARABOLIQUES NON LOCAUX PDF Download
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CE TRAVAIL CONSISTE A ETUDIER UNE CATEGORIE DE PROBLEMES NON LOCAUX ET NON LINEAIRES DE TYPE PARABOLIQUE. DANS CES EQUATIONS, LES COEFFICIENTS DEPENDENT DE LA SOLUTION AU TRAVERS DE QUANTITES GLOBALES, COMME LA MASSE TOTALE DU CORPS CONSIDERE, LE FLUX OU L'ENERGIE TOTALE (POUR LES PROBLEMES LIES A LA PHYSIQUE), OU ENCORE LA DENSITE TOTALE (EN DYNAMIQUE DES POPULATIONS). OUTRE L'EXISTENCE ET L'UNICITE DES SOLUTIONS LOCALES ET GLOBALES, NOUS ETABLISSONS LE COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE DE CES SOLUTIONS ET ETUDIONS LEUR STABILITE
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CE TRAVAIL CONSISTE A ETUDIER UNE CATEGORIE DE PROBLEMES NON LOCAUX ET NON LINEAIRES DE TYPE PARABOLIQUE. DANS CES EQUATIONS, LES COEFFICIENTS DEPENDENT DE LA SOLUTION AU TRAVERS DE QUANTITES GLOBALES, COMME LA MASSE TOTALE DU CORPS CONSIDERE, LE FLUX OU L'ENERGIE TOTALE (POUR LES PROBLEMES LIES A LA PHYSIQUE), OU ENCORE LA DENSITE TOTALE (EN DYNAMIQUE DES POPULATIONS). OUTRE L'EXISTENCE ET L'UNICITE DES SOLUTIONS LOCALES ET GLOBALES, NOUS ETABLISSONS LE COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE DE CES SOLUTIONS ET ETUDIONS LEUR STABILITE
Author: Paul Sauvy Publisher: ISBN: Category : Languages : fr Pages : 0
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Cette thèse s'inscrit dans le domaine mathématique de l'analyse des équations aux dérivées partielles non-linéaires. Plus précisément, nous avons fait ici l'étude de problèmes quasi-linéaires singuliers. Le terme "singulier" fait référence à l'intervention d'une non-linéarité qui explose au bord du domaine où 'équation est posée. La présence d'une telle singularité entraîne un manque de régularité et donc de compacité des solutions qui ne nous permet pas d'appliquer directement les méthodes classiques de l'analyse non-linéaire pour démontrer l'existence de solutions et discuter des propriétés de régularité et de comportement asymptotique de ces solutions. Pour contourner cette difficulté, nous sommes amenés à établir des estimations a priori très fines au voisinage du bord du domaine en combinant diverses méthodes : méthodes de monotonie (reliée au principe du maximum), méthodes variationnelles, argument de convexité, méthodes de point fixe et semi-discrétisation en temps. A travers, l'étude de trois problèmes-modèle faisant intervenir l'opérateur p-Laplacien, nous avons montré comment ces différentes méthodes pouvaient être mises en œuvre. Les résultats que nous avons obtenus sont décrits dans les trois chapitres de cette thèse : Dans le Chapitre I, nous avons étudié un problème d'absorption elliptique singulier. En utilisant des méthodes de sur- et sous solutions et des méthodes variationnelles, nous établissons des résultats d'existence de solutions. Par des méthodes de comparaison locale, nous démontrons également la propriété de support compact de ces solutions, pour de fortes singularités. Dans le Chapitre II, nous étudions le cas d'un système d'équations quasi-linéaires singulières. Par des arguments de point fixe et de monotonie, nous démontrons deux résultats généraux d'existence de solutions. Dans un deuxième temps, nous faisons une analyse plus détaillée de systèmes du type Gierer-Meinhardt modélisant des phénomènes biologiques. Des résultats d'unicité ainsi que des estimations précises sur le comportement des solutions sont alors obtenus. Dans le Chapitre III, nous faisons l'étude d'un problème d'absorption, parabolique singulier. Nous établissons par une méthode de semi-discrétisation en temps des résultats d'existence de solutions. Grâce à des inégalités d'énergie, nous démontrons également l'extinction en temps fini de ces solutions.
Author: Rubén Caballero Toro Publisher: Universidad Miguel Hernández ISBN: 8418177330 Category : Mathematics Languages : en Pages : 206
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El objetivo de este trabajo es estudiar sistemas dinámicos multivaluados. En particular, pretendemos obtener resultados relacionados con la estructura de los atractores para describir el comportamiento de las soluciones de diferentes ecuaciones. Por tanto, nuestra investigación puede situarse en el área de Matemática Aplicada. Más concretamente, el Capítulo 1 versa sobre la robustez de los semiflujos multivaluados dinámicamente gradientes. Para aplicar este resultado describimos las propiedades dinámicas de una familia de problemas Chafee-Infante aproximando una inclusión diferencial, demostrando que las soluciones débiles de estos problemas generan un semiflujo multivaluado dinámicamente gradiente con respecto a unos conjuntos de Morse. El Capítulo 2 se centra en una ecuación más general llamada ecuación de reacción-difusión no local, donde el término de difusión depende del gradiente de la solución. En primer lugar, demostramos la existencia y unicidad de soluciones regulares y fuertes. En segundo lugar, obtenemos la existencia de atractores globales en ambas situaciones bajo supuestos bastante débiles al definir un semiflujo multivaluado. En el último capítulo estudiamos la estructura del atractor global para el semiflujo multivaluado generado por una ecuación de reacción-difusión no local donde no podemos garantizar la unicidad del problema de Cauchy. Comenzamos analizando la existencia y propiedades de los puntos estacionarios, mostrando que el problema sufre la misma cascada de bifurcaciones que en la ecuación de Chafee-Infante. Para concluir, estudiamos la estabilidad de los puntos fijos y establecemos que el semiflujo es dinámicamente gradiente. Además, probamos que el atractor está formado por los puntos estacionarios y sus conexiones heteroclínicas y analizamos algunas de las posibles conexiones.
Author: Carlos Esteve yague Publisher: ISBN: Category : Languages : en Pages : 207
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This thesis is concerned with the study of three nonlinear parabolic problems : We start with a mathematical model for a micro-electro-mechanical system (MEMS) with variable dielectric permittivity. The model is based on a parabolic equation with singular nonlinearity which describes the dynamic deffection of an elastic plate under the effect of an electrostatic potential. We study the touchdown, or quenching, phenomenon. With the aim of controlling the touchdown set, we give results concerning the touchdownl ocalization in terms of the permittivity profile. In the second part of the thesis, we study a diffusive Hamilton-Jacobi equation in a bounded domain with zero Dirichlet boundary conditions. We analyze the gradient blow-up (GBU) that solutions can exhibit on the boundary of the domain. In a previous work, it was shown that single-point GBU solutions can be constructed in very particular domains, namely, locally fat domains and disks. We prove the existence of this kind ofsolutions for a large family of domains, for which the curvature of the domain may be nonconstant near the GBU point. In the last part of the thesis, we study the evolution problem associated to the j-th eigenvalue of the Hessian matrix. First, we show the existence of a (unique) viscosity solution, which can be approximated by the value function of a two-player zero-sumgame as the step length of the game goes to zero. Then, we show that solutions to this evolution problem converge exponentially fast to the unique stationary solution as t goes to ∞. Finally, we show that in some special cases (for affine boundary data) the solution coincides with the stationary solution in finite time.
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ETUDE DES PROBLEMES AUX LIMITES POUR DES SYSTEMES DONT LES SECONDS MEMBRES VERIFIENT UNE PROPRIETE DE LIPSCHITZ LOCALE SUPERIEURE UNIFORME ET SOUS L'HYPOTHESE D'EXISTENCE DE PSEUDO-SURSOLUTION. ETABLISSEMENT D'UN THEOREME D'EXISTENCE ET D'UNICITE D'UNE SOLUTION BORNEE NON NEGATIVE. ETUDE DES EFFETS REGULARISANTS SUR CETTE SOLUTION. CONVERGENCE DE LA SOLUTION VERS UNE SOLUTION DU PROBLEME ELLIPTIQUE ASSOCIE. APPROXIMATION DU PROBLEME PAR DIFFERENCES FINIES SUIVANT LE TEMPS ET PAR ELEMENTS FINIS SUIVANT LES VARIABLES D'ESPACE
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Cette thèse est centrée autour de l’étude théorique et de l’analyse numérique des équations paraboliques non linéaires avec divers conditions aux limites. La première partie est consacrée aux équations paraboliques dégénérées mêlant des phénomènes non-linéaires de diffusion et de transport. Nous définissons des notions de solutions entropiques adaptées pour chacune des conditions aux limites (flux nul, Robin, Dirichlet). La difficulté principale dans l’étude de ces problèmes est due au manque de régularité du flux pariétal pour traiter les termes de bords. Ceci pose un problème pour la preuve d’unicité. Pour y remédier, nous tirons profit du fait que ces résultats de régularités sur le bord sont plus faciles à obtenir pour le problème stationnaire et particulièrement en dimension un d’espace. Ainsi par la méthode de comparaison "fort-faible" nous arrivons à déduire l’unicité avec le choix d’une fonction test non symétrique et en utilisant la théorie des semi-groupes non linéaires.L’existence de solution se démontre en deux étapes, combinant la méthode de régularisation parabolique et les approximations de Galerkin. Nous développons ensuite une approche directe en construisant des solutions approchées par un schéma de volumes finis implicite en temps. Dans les deux cas, on combine les estimations dans les espaces fonctionnels bien choisis avec des arguments de compacité faible ou forte et diverses astuces permettant de passer à la limite dans des termes non linéaires. Notamment, nous introduisons une nouvelle notion de solution appelée solution processus intégrale dont l’objectif, dans le cadre de notre étude, est de pallier à la difficulté de prouver la convergence vers une solution entropique d’un schéma volumes finis pour le problème de flux nul au bord. La deuxième partie de cette thèse traite d’un problème à frontière libre décrivant la propagation d’un front de combustion et l’évolution de la température dans un milieu hétérogène. Il s’agit d’un système d’équations couplées constitué de l’équation de la chaleur bidimensionnelle et d’une équation de type Hamilton-Jacobi. L’objectif de cette partie est de construire un schéma numérique pour ce problème en combinant des discrétisations du type éléments finis avec les différences finies. Ceci nous permet notamment de vérifier la convergence de la solution numérique vers une solution onde pour un temps long. Dans un premier temps, nous nous intéressons à l’étude d’un problème unidimensionnel. Très vite,nous nous heurtons à un problème de stabilité du schéma. Cela est dû au problème de prise en compte de la condition de Neumann au bord. Par une technique de changement d’inconnue et d’approximation nous remédions à ce problème. Ensuite, nous adaptons cette technique pour la résolution du problème bidimensionnel. A l’aide d’un changement de variables, nous obtenons un domaine fixe facile pour la discrétisation. La monotonie du schéma obtenu est prouvée sous une hypothèse supplémentaire de propagation monotone qui exige que la frontière libre se déplace dans les directions d’un cône prescrit à l’avance.
Author: Jacques Louis Lions Publisher: Springer Science & Business Media ISBN: 3642652174 Category : Mathematics Languages : en Pages : 255
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I. In this second volume, we continue at first the study of non homogeneous boundary value problems for particular classes of evolu tion equations. 1 In Chapter 4 , we study parabolic operators by the method of Agranovitch-Vishik [lJ; this is step (i) (Introduction to Volume I, Section 4), i.e. the study of regularity. The next steps: (ii) transposition, (iii) interpolation, are similar in principle to those of Chapter 2, but involve rather considerable additional technical difficulties. In Chapter 5, we study hyperbolic operators or operators well defined in thesense of Petrowski or Schroedinger. Our regularity results (step (i)) seem to be new. Steps (ii) and (iii) are all3.logous to those of the parabolic case, except for certain technical differences. In Chapter 6, the results of Chapter'> 4 and 5 are applied to the study of optimal control problems for systems governed by evolution equations, when the control appears in the boundary conditions (so that non-homogeneous boundary value problems are the basic tool of this theory). Another type of application, to the characterization of "all" well-posed problems for the operators in question, is given in the Ap pendix. Still other applications, for example to numerical analysis, will be given in Volume 3.
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DANS CETTE THESE, NOUS REGROUPONS QUATRE ARTICLES DANS LESQUELS, NOUS ETUDIONS DIVERS ASPECTS MATHEMATIQUES DE PROBLEMES PARABOLIQUES FORTEMENT DEGENERES EN UNE DIMENSION D'ESPACE. DANS LE PREMIER ET LE SECOND ARTICLE NOUS ETUDIONS UNE EQUATION GENERALE DE TYPE PARABOLIQUE POUVANT DEGENEREE EN HYPERBOLIQUE DU PREMIER ORDRE POUR CERTAINES VALEURS DES VARIABLES. DANS LE PREMIER ARTICLE, NOUS DEVELOPPONS UNE NOTION DE SOLUTION ENTROPIQUE DU PROBLEME STATIONNAIRE ASSOCIE A CETTE EQUATION. CECI NOUS PERMET, SUIVANT LA THEORIE DES SEMI-GROUPE NON LINEAIRE DANS UN ESPACE DE BANACH, D'ASSOCIER AUX DONNEES UN OPERATEUR DE CET ESPACE DE BANACH. NOUS MONTRONS QUE CET OPERATEUR EST FORTEMENT ACCRETIF A DOMAINE DENSE ET VERIFIE LA CONDITION D'IMAGE. DANS LE SECOND ARTICLE, NOUS ETABLISSONS DES RESULTATS D'EXISTENCE, D'UNICITE ET DE DEPENDANCE CONTINUE PAR RAPPORT AUX DONNEES, D'UNE BONNE SOLUTION DU PROBLEME DE CAUCHY OU DE PROBLEMES AUX LIMITES ASSOCIES A CETTE EQUATION SOUS DES HYPOTHESES TRES GENERALES SUR LES DONNEES. AVEC DES HYPOTHESES COMPLEMENTAIRES, NOUS MONTRONS QUE CETTE BONNE SOLUTION EST SOLUTION ENTROPIQUE ; NOUS ETUDIONS L'UNICITE DES SOLUTIONS FAIBLES ET L'EXISTENCE DE SOLUTION FORTE. LE TROISIEME ARTICLE EST CONSACRE AU CAS PARTICULIER DE LA DEPENDANCE CONTINUE DES BONNES SOLUTIONS PAR RAPPORT AU DOMAINE. DANS LE QUATRIEME ET DERNIER ARTICLE DE CE TRAVAIL, NOUS ETUDIONS LE COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE POUR DES TEMPS GRANDS, DES SOLUTIONS DE L'EQUATION DANS LE CAS QUASI-LINEAIRE. NOUS MONTRONS QUE LE PROBLEME DE DIRICHLET ASSOCIE A CETTE EQUATION EST DE TYPE GRADIENT A L'AIDE DE FONCTIONNELLE DE LYAPUNOV
Author: BRUNO.. LOVAT
Author: BRUNO.. LOVAT
Author: Paul Sauvy
Author: Chokri Abdelkafi (auteur d'une thèse de sciences.)
Author: Rubén Caballero Toro
Author: Carlos Esteve yague
Author: Hamid Elouardi
Author: Mohamed Karimou Gazibo
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Author: Jacques Louis Lions
Author: Hamidou Touré