Equations quasilinéaires paraboliques dégénérées et équations de Hamilton-Jacobi PDF Download
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Book Description
La première partie est consacrée à des équations quesilinéaires dégénérées, posées dans [RNx(0, T)], du type de l'équation du mouvement par courbure moyenne des graphes. Nous utilisons l'approche par lignes de niveau pour interpréter l'évolution au cours du temps des solutions non bornées comme un mouvement d'hypersurfaces dans [RN+1]. Nous obtenons une condition d'unicité liée au non-épaississement du front associé par cette approche géométrique et des bornes L∞locales qui entraînent l'existence de solutions de viscosité discontinues. Une application spectaculaire est l'existence et l'unicité d'une solution de viscosité continue pour toute donnée initiale convexe. En travaillant directement sur les équations, nous montrons des résultats d'existence et d'unicité en dimension 1. En imposant des restrictions de type polynomial sur la croissance de la donnée initiale dans [RN], nous prouvons qu'une grande classe d'équations est bien posée dans l'ensemble des fonctions à même croissance. La seconde partie concerne les équations d'Hamilton-Jacobi paraboliques. En premier lieu, pour des équations posées dans tout l'espace, nous établissons des bornes inférieures de gradient pour les solutions que nous exploitons dans le cadre de l'approche par lignes de niveau. Ces bornes empêchent l'épaississement du front mais nous montrons par des contre-exemples qu'elles n'impliquent pas les propriétés plus fines espérées même pour des solutions semiconcaves. En second lieu, nous considérons ces équations posées dans un ouvert borné régulier avec une condition de Neumann au bord. En utilisant le problème de contrôle avec réflexion au bord associé, nous prouvons que le résultat d'unicité discontinu pour l'équation posée dans [RN] ne s'applique pas.
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La première partie est consacrée à des équations quesilinéaires dégénérées, posées dans [RNx(0, T)], du type de l'équation du mouvement par courbure moyenne des graphes. Nous utilisons l'approche par lignes de niveau pour interpréter l'évolution au cours du temps des solutions non bornées comme un mouvement d'hypersurfaces dans [RN+1]. Nous obtenons une condition d'unicité liée au non-épaississement du front associé par cette approche géométrique et des bornes L∞locales qui entraînent l'existence de solutions de viscosité discontinues. Une application spectaculaire est l'existence et l'unicité d'une solution de viscosité continue pour toute donnée initiale convexe. En travaillant directement sur les équations, nous montrons des résultats d'existence et d'unicité en dimension 1. En imposant des restrictions de type polynomial sur la croissance de la donnée initiale dans [RN], nous prouvons qu'une grande classe d'équations est bien posée dans l'ensemble des fonctions à même croissance. La seconde partie concerne les équations d'Hamilton-Jacobi paraboliques. En premier lieu, pour des équations posées dans tout l'espace, nous établissons des bornes inférieures de gradient pour les solutions que nous exploitons dans le cadre de l'approche par lignes de niveau. Ces bornes empêchent l'épaississement du front mais nous montrons par des contre-exemples qu'elles n'impliquent pas les propriétés plus fines espérées même pour des solutions semiconcaves. En second lieu, nous considérons ces équations posées dans un ouvert borné régulier avec une condition de Neumann au bord. En utilisant le problème de contrôle avec réflexion au bord associé, nous prouvons que le résultat d'unicité discontinu pour l'équation posée dans [RN] ne s'applique pas.
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Cette thèse est constituée de deux parties. Une première partie est consacrée à l'étude des équations de Hamilton-Jacobi du premier ordre. Ces équations apparaissent en contrôle optimal et permettent de modéliser des problèmes de trafic routier, de supraconductivité et de mouvements d'interface. Le premier chapitre de la thèse présente un résultat d'équivalence de conditions au bord de type contraintes d'état. On obtient l'équivalence de trois formulations de ces conditions au bord. Ceci permet notamment de déduire que les résultats d'existence et d'unicité valables pour l'une des trois formulations sont valables pour les trois. Le second chapitre porte principalement sur un résultat d'équivalence de conditions au bord de type dynamique ; il est complété par un résultat d'unicité pour ce problème. En considérant la relation «avoir les mêmes solutions», on peut regrouper les conditions aux limites (vérifiées en un sens faible) en classe d'équivalence. Nous montrons que dans chaque classe il y a une unique condition vérifiée en un sens fort. Le troisième chapitre est consacrée à l'étude d'un schéma monotone aux différences finies pour une équation de Hamilton-Jacobi posée sur une jonction. Une jonction est un réseau formé d'un seul noeud et d'un nombre fini d'arrêtes infinies. La convergence du schéma vers l'unique solution a été montrée par Costesèque, Lebacque, Monneau dans le cas d'une condition de jonction de type «flux limité minimal». Nous présenterons un résultat de convergence pour une condition de jonction générale, ainsi qu'une estimation d'erreur dans le cas d'une condition de jonction de type «flux limité» (pas forcément minimal). Une seconde partie porte sur la régularité höldérienne pour une large classe d'équations paraboliques à coefficients peu réguliers par la méthode introduite par De Giorgi en 1957. Le quatrième chapitre contient un résultat quantitatif d'une des deux grandes étapes de la méthode de De Giorgi : le lemme des valeurs intermédiaires. Ce lemme permet de quantifier (en mesure) le fait que les solutions de ces équations ne peuvent pas faire de saut entre deux valeurs numériques. Deux versions quantitatives de ce lemme sont présentées.
Author: Kunihiko Kajitani Publisher: Springer Science & Business Media ISBN: 9780817643096 Category : Mathematics Languages : en Pages : 260
Book Description
The 17 invited research articles in this volume, all written by leading experts in their respective fields, are dedicated to the great French mathematician Jean Leray. A wide range of topics with significant new results---detailed proofs---are presented in the areas of partial differential equations, complex analysis, and mathematical physics. Key subjects are: * Treated from the mathematical physics viewpoint: nonlinear stability of an expanding universe, the compressible Euler equation, spin groups and the Leray--Maslov index, * Linked to the Cauchy problem: an intermediate case between effective hyperbolicity and the Levi condition, global Cauchy--Kowalewski theorem in some Gevrey classes, the analytic continuation of the solution, necessary conditions for hyperbolic systems, well posedness in the Gevrey class, uniformly diagonalizable systems and reduced dimension, and monodromy of ramified Cauchy problem. Additional articles examine results on: * Local solvability for a system of partial differential operators, * The hypoellipticity of second order operators, * Differential forms and Hodge theory on analytic spaces, * Subelliptic operators and sub- Riemannian geometry. Contributors: V. Ancona, R. Beals, A. Bove, R. Camales, Y. Choquet- Bruhat, F. Colombini, M. De Gosson, S. De Gosson, M. Di Flaviano, B. Gaveau, D. Gourdin, P. Greiner, Y. Hamada, K. Kajitani, M. Mechab, K. Mizohata, V. Moncrief, N. Nakazawa, T. Nishitani, Y. Ohya, T. Okaji, S. Ouchi, S. Spagnolo, J. Vaillant, C. Wagschal, S. Wakabayashi The book is suitable as a reference text for graduate students and active researchers.
Author: Olivier Ley
Author: Olivier Ley
Author: Benton
Author: Stanley H. Benton
Author: Jessica Guerand
Author: Kunihiko Kajitani