Discrétisation par volumes finis et méthodes de décomposition de domaine pour des problèmes de convection diffusion PDF Download
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Author: René Cautres Publisher: ISBN: Category : Languages : en Pages : 158
Book Description
Il s'agit ici d'étudier la discrétisation de quelques modèles de problèmes de convection-diffusion : βut - [delta]u + div(vq(u)) + bu = ƒ(x,t,u), sur un ouvert borné [Oméga] de Rd, d = 2 ou d = 3. La partie I constituée de deux chapitres, est consacrée à la discrétisation par la méthode Volumes Finis dite centrée par mailles dans le cas β = 0 et β = 1, pour des problèmes non linéaires. On y étudie l'existence et l'unicité de la solution discrète ainsi que la convergence du schéma numérique par l'établissement d'estimations d'erreurs. La partie II constituée de deux chapitres, est consacrée à l'étude d'une version Volumes Finis de deux algorithmes de Décompostion de Domaines, l'algorithme Neumann-Neumann, et l'algorithme de Lions. L'algorithme de Lions est étudié dan le cas de grilles non conformes.
Author: René Cautres Publisher: ISBN: Category : Languages : en Pages : 158
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Il s'agit ici d'étudier la discrétisation de quelques modèles de problèmes de convection-diffusion : βut - [delta]u + div(vq(u)) + bu = ƒ(x,t,u), sur un ouvert borné [Oméga] de Rd, d = 2 ou d = 3. La partie I constituée de deux chapitres, est consacrée à la discrétisation par la méthode Volumes Finis dite centrée par mailles dans le cas β = 0 et β = 1, pour des problèmes non linéaires. On y étudie l'existence et l'unicité de la solution discrète ainsi que la convergence du schéma numérique par l'établissement d'estimations d'erreurs. La partie II constituée de deux chapitres, est consacrée à l'étude d'une version Volumes Finis de deux algorithmes de Décompostion de Domaines, l'algorithme Neumann-Neumann, et l'algorithme de Lions. L'algorithme de Lions est étudié dan le cas de grilles non conformes.
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CE TRAVAIL A POUR OBJET LE DEVELOPPEMENT ET L'ETUDE D'UNE METHODE DE DECOMPOSITION DE DOMAINE, LA METHODE OPTIMISEE D'ORDRE 2 (OO2), POUR LA RESOLUTION DE L'EQUATION DE CONVECTION-DIFFUSION. SON ATOUT PRINCIPAL EST DE PERMETTRE D'UTILISER UN DECOUPAGE QUELCONQUE DU DOMAINE, SANS SAVOIR A L'AVANCE OU SONT SITUES LES PHENOMENES PHYSIQUES TELS QUE LES COUCHES LIMITES OU LES ZONES DE RECIRCULATION. LA METHODE OO2 EST UNE METHODE DE DECOMPOSITION DE DOMAINE SANS RECOUVREMENT, ITERATIVE, PARALLELISABLE. LE DOMAINE DE CALCUL EST DIVISE EN SOUS-DOMAINES, ET ON RESOUT LE PROBLEME DE DEPART DANS CHAQUE SOUS-DOMAINE, AVEC DES CONDITIONS DE RACCORD SPECIFIQUES SUR LES INTERFACES DES SOUS-DOMAINES. CE SONT DES CONDITIONS DIFFERENTIELLES D'ORDRE 1 DANS LA DIRECTION NORMALE ET D'ORDRE 2 DANS LA DIRECTION TANGENTE A L'INTERFACE QUI APPROCHENT, PAR UNE PROCEDURE D'OPTIMISATION, LES CONDITIONS AUX LIMITES ARTIFICIELLES (CLA). L'UTILISATION DES CLA EN DECOMPOSITION DE DOMAINE PERMET DE DEFINIR DES ALGORITHMES STABLES. UNE REFORMULATION DE LA METHODE DE SCHWARZ CONDUIT A UN PROBLEME D'INTERFACE. CELUI-CI EST RESOLU PAR UNE METHODE ITERATIVE DE TYPE KRYLOV (BICG-STAB, GMRES, GCR). LA METHODE EST APPLIQUEE A UN SCHEMA AUX DIFFERENCES FINIES DECENTRE, PUIS A UN SCHEMA VOLUMES FINIS. UN PRECONDITIONNEUR BASSES FREQUENCES EST ENSUITE INTRODUIT ET ETUDIE, DANS LE BUT D'AVOIR UNE CONVERGENCE INDEPENDANTE DU NOMBRE DE SOUS-DOMAINES. CE PRECONDITIONNEUR EST UNE EXTENSION AUX PROBLEMES NON-SYMETRIQUES D'UN PRECONDITIONNEUR UTILISE POUR DES PROBLEMES SYMETRIQUES. ENFIN, L'UTILISATION DE CONDITIONS DIFFERENTIELLES D'ORDRE 2 LE LONG DE L'INTERFACE NECESSITE D'AJOUTER DES CONDITIONS DE RACCORD AUX POINTS DE CROISEMENT DES SOUS-DOMAINES. UNE ETUDE EST MENEE A CE SUJET, QUI PERMET DE MONTRER QUE LES PROBLEMES DANS CHAQUE SOUS-DOMAINE SONT BIEN POSES.
Author: Younès Nait Slimane Publisher: ISBN: Category : Languages : en Pages :
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LES METHODES DE VOLUMES FINIS PRESENTENT DES QUALITES CONSIDERABLES QUI LES FONT SOUVENT EMPLOYER POUR DES PROBLEMES INDUSTRIELS DANS LESQUELS DE NOMBREUX PHENOMENES PHYSIQUES SONT COUPLES, SUR DES MAILLAGES QUI NE PEUVENT PAS TOUJOURS FAIRE L'OBJET DE METHODES D'ELEMENTS FINIS. CE TRAVAIL PORTE SUR L'ETUDE DE LA CONVERGENCE DES METHODES DE VOLUMES FINIS POUR DES PROBLEMES DE DIFFUSION-CONVECTION NON LINEAIRES, TELS QUE LE PROBLEME DE STEFAN OU L'EQUATION DES MILIEUX POREUX EN PRESENCE D'UN TERME DE CONVECTION FORCE EVENTUELLEMENT EGALEMENT NON LINEAIRE. UNE PREMIERE PARTIE DEMONTRE LA CONVERGENCE DES METHODES DE VOLUMES FINIS POUR UN PROBLEME DE TYPE STEFAN SANS TERME CONVECTIF. LES ESTIMATIONS OBTENUES PERMETTENT DE CONCLURE A UNE CONVERGENCE FORTE DE LA TEMPERATURE ET FAIBLE DE L'ENERGIE, CE QUI EST CONFORME AUX RESULTATS OBTENUS PAR D'AUTRES APPROCHES NUMERIQUES. ELLES PERMETTENT D'APPLIQUER LE THEOREME DE KOLMOGOROV, QUI DONNE UNE PROPRIETE DE CONVERGENCE FORTE AU MOYEN DE L'ESTIMATION DES TRANSLATIONS EN TEMPS ET EN ESPACE SUR LES SOLUTIONS APPROCHEES. L'ESTIMATION DES TRANSLATIONS EN ESPACE PERMET DE CONCLURE A LA REGULARITE DE LA LIMITE. UNE SECONDE PARTIE DEMONTRE LA CONVERGENCE DES METHODES DE VOLUMES FINIS POUR UN PROBLEME MIXTE DE DIFFUSION NON LINEAIRE ET DE CONVECTION NON LINEAIRE. LORSQUE LA DEGENERESCENCE DU TERME DE DIFFUSION EST SEULEMENT PONCTUELLE, LA CONVERGENCE DU SCHEMA EST ALORS FORTE EN TOUT POINT ; CECI RESULTE D'UN COUPLAGE ENTRE LES METHODES EXPLICITEES EN PREMIERE PARTIE ET DES METHODES MAINTENANT CLASSIQUES EMPLOYEES POUR LA CONVERGENCE DES SCHEMAS DE VOLUMES FINIS POUR UNE EQUATION HYPERBOLIQUE NON LINEAIRE. DANS LE CAS D'UNE DEGENERESCENCE DU TERME DE DIFFUSION SUR UN INTERVALLE, LE RESULTAT DE CONVERGENCE EST AFFAIBLI, ET NECESSITE L'INTRODUCTION DE SOLUTIONS DANS UN SENS PLUS FAIBLE, COMME IL EST COURAMMENT FAIT POUR LES PROBLEMES HYPERBOLIQUES NON LINEAIRES. CEPENDANT, A LA DIFFERENCE DE CE DERNIER CADRE, IL N'Y A PAS DE RESULTAT D'UNICITE POUR CONCLURE A UNE CONVERGENCE FORTE DU SCHEMA. PAR AILLEURS, ON RETROUVE DANS CE CAS LA NECESSITE D'INTRODUIRE UN SENS ENTROPIQUE AUX SOLUTIONS FAIBLES DU PROBLEME ; LE SCHEMA DE VOLUMES FINIS EST ALORS DEMONTRE COMME SATISFAISANT UNE PROPRIETE DISCRETE ANALOGUE A LA PROPRIETE CONTINUE
Author: Konstantin Brenner Publisher: ISBN: Category : Languages : en Pages : 0
Book Description
In Chapter 1 we study a family of finite volume schemes for the numerical solution of degenerate parabolic convection-reaction-diffusion equations modeling contaminant transport in porous media. The discretization of possibly anisotropic and heterogeneous diffusion terms is based upon a family of numerical schemes, which include the hybrid finite volume scheme, the mimetic finite difference scheme and the mixed finite volume scheme. One discretizes the convection term by means of a family of schemes which makes use of the discrete unknowns associated to the mesh interfaces, and contains as special cases an upwind scheme and a centered scheme. The numerical schemes which we study are locally conservative and allow computations on general multi-dimensional meshes. We prove that the unique discrete solution converges to the unique weak solution of the continuous problem. We also investigate the solvability of the linearized problem obtained during Newton iterations. Finally we present a number of numerical results in space dimensions two and three using nonconforming adaptive meshes and show experimental orders of convergence for upwind and centered discretizations of the convection term.In Chapter 2 we propose a finite volume method on general meshes for the numerical simulation of an incompressible and immiscible two-phase flow in porous media. We consider the case that it can be written as a coupled system involving a degenerate parabolic convection-diffusion equation for the saturation together with a uniformly elliptic equation for the global pressure. The numerical scheme, which is implicit in time, allows computations in the case of a heterogeneous and anisotropic permeability tensor. The convective fluxes, which are non monotone with respect to the unknown saturation and discontinuous with respect to the space variables, are discretized by means of a special Godunov scheme. We prove the existence of a discrete solution which converges, along a subsequence, to a solution of the continuous problem. We present a number of numerical results in space dimension two, which confirm the efficiency of the numerical method.Chapter 3 is devoted to the study of a two-phase flow problem in the case that the capillary pressure curve is discontinuous with respect to the space variable. More precisely we assume that the porous medium is composed of two different rocks, so that the capillary pressure is discontinuous across the interface between the rocks. As a consequence the oil saturation and the global pressure are discontinuous across the interface with nonlinear transmission conditions. We discretize the problem by means of a numerical scheme which reduces to a standard finite volume scheme in each sub-domain and prove the convergence of a sequence of approximate solutions towards a weak solution of the continuous problem. The numerical tests show that the scheme can reproduce the oil trapping phenomenon.
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Dans ce travail, on s'intéresse aux relations entre les méthodes de type volumes finis et les méthodes éléments finis mixtes pour la discrétisation des problèmes elliptiques. L'intérêt est d'utiliser un cadre théorique de type variationnel permettant d'obtenir pour une classe de schémas de type volumes finis, des résultats de majoration d'erreurs, à priori et à posteriori. Un estimateur d'erreur à posteriori, asymptotiquement exact, est obtenu en exploitant les liens existant entre méthodes volumes finis, éléments finis mixtes et éléments finis non conformes, et une méthode adaptative de décomposition de domaines est développée pour des méthodes volumes finis.
Author: Sarah Leclavier Publisher: ISBN: Category : Languages : fr Pages :
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On s'intéresse dans cette thèse à montrer que la solution approchée, par la méthode des volumes finis, converge vers la solution renormalisée de problèmes elliptiques ou paraboliques à donnée L1. Dans la première partie nous étudions une équation de convection-diffusion ellliptique à donnée L1. En adaptant la stratégie développée pour les solutions renormaliséesà la méthode des volumes finis, nous montrons que la solution approchée converge vers l'unique solution renormalisée.Dans la deuxième partie nous nous intéressons à un problème parabolique nonlinéaire à donnée L1. En utilisant une version discrète de résultats de compacité classiques, nous montrons que les résultats obtenues dans le cas elliptique restentvrais dans le cas parabolique. Dans la troisième partie nous montrons des résultats similaires pour une équationparabolique doublement non-linéaire à donnée L1. Le caractère doublement nonlinéaire de l'équation crée des difficultés supplémentaires par rapport à la partie précédente, notamment car la règle de dérivation en chaîne ne s'applique pas dansle cas discret. Enfin, dans la quatrième partie, nous utilisons les résultats établis précédemment pour étudier un système de type thermoviscoélasticité. Nous montrons que la solution approchée, obtenue par un schéma éléments finis-volumes finis, converge vers une solution faible-renormalisée du système.
Author: Samuel Kortas Publisher: ISBN: Category : Languages : fr Pages : 188
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CETTE THESE VISE A LA RESOLUTION PERFORMANTE DE PROBLEMES NON-LINEAIRES D'ADVECTION-DIFFUSION ET DE NAVIER-STOKES DISCRETISES PAR UN NOUVEAU SCHEMA VOLUMES FINIS A L'ORDRE 4, CFV4, INSPIRE DU PRINCIPE DES METHODES COMPACTES. SON EFFICACITE EST DEMONTREE POUR LES METHODES ITERATIVES DE TYPE KRYLOV AVEC DES PRECONDITIONNEMENTS MULTI-DOMAINES ET MULTI-NIVEAUX. SUR UNE EQUATION DE BURGERS VISQUEUX 2D, UN PRECONDITIONNEUR BASE SUR UN SCHEMA VOLUMES FINIS D'ORDRE 2, ACCELERE PAR UNE METHODE MULTIGRILLE, DONNE DE TRES BONS RESULTATS EN MATIERE DE CONVERGENCE, DU RAPPORT COUT DE CALCUL/PRECISION ET DES PERFORMANCES PARALLELES SUR MACHINES A MEMOIRE DISTRIBUEE (IBM SP2 ET CRAY T3D/T3E). LE GAIN PAR RAPPORT AU SOLVEUR PARTITIONNE S'ACCENTUE ENCORE POUR DES MAILLAGES PLUS FINS PUISQUE LA CONVERGENCE DU SOLVEUR PRECONDITIONNE NE DEPEND PLUS DU PAS DE DISCRETISATION. DANS LES CAS FAIBLEMENT VISQUEUX, ELLE NE DEPEND QUASIMENT PLUS DU NOMBRE DE SOUS-DOMAINES. ON ETEND LE SCHEMA CFV4 A LA DISCRETISATION SUR UN MAILLAGE DECALE DES EQUATIONS DE NAVIER-STOKES EN REGIME INCOMPRESSIBLE ET INSTATIONNAIRE. LE SYSTEME COUPLE EN VITESSE-PRESSION EST RESOLU PAR UN SOLVEUR DE KRYLOV PRECONDITIONNE PAR UNE METHODE MULTIGRILLE AVEC POUR LISSEUR UN ALGORITHME DE GAUSS-SEIDEL PAR BLOCS MAILLE A MAILLE SUR LE MEME PROBLEME DISCRETISE A L'ORDRE 2. LES GAINS EN PRECISION ET EN TEMPS DE CALCUL SONT COMPARABLES A CEUX OBSERVES POUR LE PROBLEME DE BURGERS. L'ETUDE SE TERMINE SUR LA RESOLUTION DU PROBLEME DE LA CAVITE ENTRAINEE POUR DES NOMBRES DE REYNOLDS ALLANT JUSQU'A 5000.
Author: Yueyuan Gao Publisher: ISBN: Category : Languages : en Pages : 0
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This thesis bears on numerical methods for deterministic and stochastic partial differential equations; we perform numerical simulations by means of finite volume methods and prove convergence results.In Chapter 1, we apply a semi-implicit time scheme together with the generalized finite volume method SUSHI for the numerical simulation of density driven flows in porous media; it amounts to solve a nonlinear convection-diffusion parabolic equation for the concentration coupled with an elliptic equation for the pressure. We then propose a numerical scheme to simulate density driven flows in porous media coupled to heat transfer. We use adaptive meshes, based upon square or cubic volume elements.In Chapter 2, We perform Monte-Carlo simulations in the one-dimensional torus for the first order Burgers equation forced by a stochastic source term with zero spatial integral. We suppose that this source term is a white noise in time, and consider various regularities in space. We apply a finite volume scheme combining the Godunov numerical flux with the Euler-Maruyama integrator in time. It turns out that the empirical mean converges to the space-average of the deterministic initial condition as t → ∞. The empirical variance also stabilizes for large time, towards a limit which depends on the space regularity and on the intensity of the noise.In Chapter 3, we study a time explicit finite volume method with an upwind scheme for a first order conservation law with a monotone flux function and a multiplicative source term involving a Q-Wiener process. We present some a priori estimates including a weak BV estimate. After performing a time interpolation, we prove two entropy inequalities for the discrete solution and show that it converges up to a subsequence to a stochastic measure-valued entropy solution of the conservation law in the sense of Young measures.In Chapter 4, we obtain similar results as in Chapter 3, in the case that the flux function is non-monotone, and that the convection term is discretized by means of a monotone scheme.
Author: René Cautres
Author: René Cautres
Author: Caroline Japhet
Author: Younès Nait Slimane
Author: Younès Nait Slimane
Author: Konstantin Brenner
Author: Fabienne Oudin
Author: Sarah Leclavier
Author: Samuel Kortas
Author: Tony F. Chan
Author: Yueyuan Gao