Author: R. EymardPublisher:
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Languages : en
Pages : 23
Book Description
Convergence D'un Schéma de Type Elements Finis - Volumes Finis Pour Un Système Formé D'une Equation Elliptique Et D'une Equation Hyperbolique
Author: R. EymardSchemas volumes finis pour des équations elliptiques ou hyperboliques avec conditions aux limites, convergence et estimations d'erreur
Author: Marie-Hélène VignalPublisher:
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Languages : fr
Pages : 246
Book Description
On s'intéresse à l'étude de schémas volumes finis pour des équations elliptiques et hyperboliques sur des domaines bornes. L'originalité de ce travail réside dans les traitements des conditions aux limites et du couplage elliptique hyperbolique. Les chapitres 2 et 3 sont consacrés à des schémas volumes finis pour une équation elliptique avec condition aux limites de Neumann et une équation hyperbolique linéaire. On établit des estimations d'erreur pour l'équation elliptique en norme h#1 discrète ainsi que l#q pour 1 q +, en montrant des injections discrètes de Sobolev. On montre la convergence de la solution approchée associée à l'équation hyperbolique vers la solution faible de cette dernière en passant à la limite dans l'équation discrétisée. Le chapitre 4 traite d'un schéma volumes finis pour une équation elliptique avec conditions de Fourier. On montre la convergence du schéma en établissant des estimations d'erreur similaires à celles établies dans les chapitres précédents, la différence essentielle provient des termes de bord. Le chapitre 5 traite de la convergence d'un schéma volumes finis pour un système elliptique hyperbolique non linéaire. En utilisant les résultats du chapitre 2 sur l'équation elliptique, on montre la convergence de la solution approchée associée à l'équation hyperbolique vers la solution entropique. De plus, on établit des estimations d'erreur en norme l#1. Pour cela, on utilise la notion de solution processus entropique (ou mesures de Young) ainsi qu'une technique introduite par S.N. Kruskov. Dans le chapitre 6, on montre la convergence de schémas volumes finis à flux monotone pour une équation hyperbolique non linéaire. Pour établir ce résultat, on utilise une notion de trace pour les fonctions l# utile pour passer à la limite dans le schéma numérique.
Convergence to equilibrium of some multidimensional gradient-like systems
Author: Mohamed Ali JendoubiPublisher:
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Languages : en
Pages : 69
Book Description
Cette thèse comporte deux parties indépendantes. La première est consacrée à l'étude du comportement asymptotique en temps d'équations d'évolution avec nonlinéarite analytique. Dans le premier chapitre de cette partie on donne une nouvelle démonstration plus simple du théorème de l. Simon qui concerne la convergence des solutions globales bornées d'une équation de la chaleur avec nonlinéarite analytique. en exhibant une nouvelle fonction de Liapunov, on remarque que le deuxième théorème de convergence de Simon concernant une équation elliptique se démontre de la même façon que le premier théorème. les résultats qu'on montre sont plus généraux et s'appliquent par exemple pour des équations couplées de type gradient ou a des équations du 4eme ordre semi-lunaires. Dans le chapitre 2 on montre que les solutions globales et bornées d'un système de type gradient d'ordre 2 avec nonlinéarite analytique convergent vers des points d'équilibre. Dans le chapitre 3, on montre que les solutions globales bornées d'une équation des ondes avec dissipation linéaire et nonlinéarite analytique convergent vers des solutions du problème stationnaire associe. Une généralisation et des exemples d'application de ce résultat sont donnés à la fin du chapitre. Dans la deuxième partie, on établit la convergence exponentielle des solutions positives d'une équation de la chaleur non linéaire. ce résultat fait suite a un travail assez récent d'a. Haraux.
Méthodes mathématiques et numériques pour les équations aux dérivées partielles
Author: CHASKALOVIC JoëlPublisher: Lavoisier
ISBN: 2743064803
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Languages : en
Pages : 382
Book Description
Qu’il s’agisse d’applications en physique ou en mécanique, en médecine ou en biologie, mais aussi en économie, dans les médias et en marketing, ou encore dans le domaine des finances, la traduction phénoménologique du système étudié conduit très souvent à la résolution d’équations différentielles ou aux dérivées partielles. Incontestablement, ce sont les éléments finis qui ont bouleversé le monde de l’approximation numérique des équations aux dérivées partielles. Cet ouvrage est composé de deux parties : la première est un abrégé de cours portant sur les outils de base de l’analyse mathématique des équations aux dérivées partielles et la seconde contient des problèmes corrigés qui abordent l’approximation par éléments finis des formulations variationnelles des problèmes aux limites elliptiques. Des applications en mécanique des solides déformables, à la résistance des matériaux, en mécanique des fluides et en thermique ainsi que quelques problèmes non linéaires y sont présentés.Cet ouvrage s'adresse aux étudiants en sciences et techniques de l'ingénieur des universités et des grandes écoles.
CONVERGENCE DE SCHEMAS NUMERIQUES TYPE VOLUMES FINIS POUR LA RESOLUTION D'EQUATIONS HYPERBOLIQUES
Author: SYLVIE.. CHAMPIERPublisher:
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Languages : fr
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LE TRAVAIL PRESENTE DANS CETTE THESE PORTE SUR L'ETUDE THEORIQUE DE LA CONVERGENCE DE SCHEMAS NUMERIQUES UTILISES POUR LA RESOLUTION D'EQUATIONS HYPERBOLIQUES LINEAIRES ET NON LINEAIRES. LES METHODES D'APPROXIMATION SONT DE TYPE VOLUMES FINIS SUR DES MAILLAGES IRREGULIERS EN ESPACE. ON CONSIDERE DES SCHEMAS DECENTRES AMONT ET DE TYPE VAN LEER (QUASI D'ORDRE 1 EN ESPACE). POUR CHAQUE SCHEMA, ON ETABLIT UNE ESTIMATION EN NORME INFINIE SUR LA SOLUTION APPROCHEE. DANS LE CAS DE RECTANGLES, LE SCHEMA EST A VARIATION TOTALE DECROISSANTE ET A L'AIDE DE THEOREMES DE COMPACITE, ON MONTRE LA CONVERGENCE DE LA SOLUTION APPROCHEE VERS LA SOLUTION FAIBLE (ENTROPIQUE) DU PROBLEME DANS L'ESPACE DES FONCTIONS LOCALEMENT INTEGRABLES. CETTE PROPRIETE SUR LE SCHEMA N'EST PLUS VERIFIEE DANS LE CAS DE TRIANGLES. IL EST CEPENDANT POSSIBLE D'OBTENIR UNE ESTIMATION FAIBLE SUR UNE VARIATION TOTALE PONDEREE, SUFFISANTE POUR OBTENIR LA CONVERGENCE DANS LE CAS LINEAIRE. DANS LE CAS NON LINEAIRE, ON UTILISE LA THEORIE DES SOLUTIONS MESURES INTRODUITES PAR DI PERNA. ON DEMONTRE UN THEOREME GENERAL SUR LES SOLUTIONS MESURES QUI PERMET D'ETABLIR LA CONVERGENCE DE LA SOLUTION APPROCHEE DANS L'ESPACE DES FONCTIONS DE PUISSANCE PIEME LOCALEMENT INTEGRABLE, POUR TOUT P SUPERIEUR OU EGAL A 1, VERS LA SOLUTION FAIBLE ENTROPIQUE
Schemas volumes finis pour des equations elliptiques ou hyperboliques avec conditions aux limites, convergence et estimations d'erreur
Author: Marie-Hélène VignalVolumes finis et solutions renormalisées, applications à des systèmes couplés
Author: Sarah LeclavierPublisher:
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Languages : fr
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Book Description
On s'intéresse dans cette thèse à montrer que la solution approchée, par la méthode des volumes finis, converge vers la solution renormalisée de problèmes elliptiques ou paraboliques à donnée L1. Dans la première partie nous étudions une équation de convection-diffusion ellliptique à donnée L1. En adaptant la stratégie développée pour les solutions renormaliséesà la méthode des volumes finis, nous montrons que la solution approchée converge vers l'unique solution renormalisée.Dans la deuxième partie nous nous intéressons à un problème parabolique nonlinéaire à donnée L1. En utilisant une version discrète de résultats de compacité classiques, nous montrons que les résultats obtenues dans le cas elliptique restentvrais dans le cas parabolique. Dans la troisième partie nous montrons des résultats similaires pour une équationparabolique doublement non-linéaire à donnée L1. Le caractère doublement nonlinéaire de l'équation crée des difficultés supplémentaires par rapport à la partie précédente, notamment car la règle de dérivation en chaîne ne s'applique pas dansle cas discret. Enfin, dans la quatrième partie, nous utilisons les résultats établis précédemment pour étudier un système de type thermoviscoélasticité. Nous montrons que la solution approchée, obtenue par un schéma éléments finis-volumes finis, converge vers une solution faible-renormalisée du système.
Convergence de schemas numeriques type volumes finis pour la resolution d'equations hyperboliques
Author: Sylvie ChampierModélisations des équations 1D de Barré de Saint Venant par la méthode des éléments finis de type discontinus de Galerkin à discrétion temporelle de Runge-Kutta
Author: Georges KesserwaniPublisher:
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Languages : fr
Pages : 223
Book Description
Un modèle numérique pour la simulation de l'écoulement transitoire unidimensionnel à surface libre dans les conduites et les réseaux hydrauliques est conçu, discuté et appliqué. En guise d'arrière-plan, une discussion détaillée sur le modèle mathématique et les propriétés physiques des équations est présenté. Une discussion sur les points singuliers des équations D de Saint Venant est notamment effectuée soulignant la nécessité d'un traitement spécifique des conditions aux limites internes. Une étude bibliographique sur les schémas numériques de type Godounov, recommandés très souvent pour l'approximation numérique des systèmes vectoriels associés aux lois de conservation hyperboliques est présentée. La méthode des éléments finis de type Runge-Kutta Discontinus de Galerkin (RKDG) est très lcoale et exige un traitement simple des conditions aux limites et des termes sources pour obtenir un ordre élevé de précision. L'intégration en temps explicite, ainsi que l'utilisation de fonctions orthogonales, rendent la méthode de calcul aussi efficace que les méthodes de type volumes finis qui sont bien adaptées pour les régimes transitoires et transcritiques. Pour les parties différentiables de la solution numérique, l'approximation est du deuxième-, troisième-, et quatrième-ordre de précision pour des approximations spatiales linéaires, quadratiques et cubiques, respectivement. En outre, les chocs sont généralement capturés en utilisant seulement deux éléments voisins. Un banc d'essai numérique est effectué montrant l'intérêt du schéma développé. Le modèle numérique RKDG2 du second-ordre est considéré, comparé favorablement par rapport à un schéma volume fini mis en oeuvre avec les mêmes propriétés, amélioré avec un traitement spécial des termes sources, et appliqué avec succès pour la prédiction des écoulements torrentiels à travers une confluence simple de canaux où un couplage avec un modèle non linéaire de jonction est utilisé dans le traitement des conditions aux limites internes. Une nouvelle technique de simulation de l'écoulement fluvial au sein d'une confluence est également étudiée, se concentrant principalement sur la fiabilité du concept de l'approximation des égalités des hauteurs d'eau à la jonction ; approche largement utilisée dans le traitement des conditions limites internes dans la majorité des logiciels commerciaux. Nous terminons ce mémoire en proposant une nouvelle méthodologie pour la prédiction de la séparation de l'écoulement à travers une diffluence simple de canaux formant un angle de 90°. L'approche proposée est évaluée avec succès par une confrontation à des résultats expérimentaux. Son principal avantage est que le caractère 2D de la division de l'écoulement transitoire est pris en compte dans la forme 1D conservative du système de Saint Venant.
ETUDE DES EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES HYPERBOLIQUES APPLICATION AUX EQUATIONS DE SAINT-VENANT
Author: Luc Arthur MonthePublisher:
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Languages : fr
Pages : 181
Book Description
DANS CE TRAVAIL, NOUS AVONS ADAPTE UNE METHODE DE VOLUMES FINIS AUX EQUATIONS DE SAINT VENANT AVEC TERMES SOURCES, DANS DES CONFIGURATIONS MONODIMENSIONNELLES ET BIDIMENSIONNELLES COMPLEXES. CES EQUATIONS REPRESENTENT LES ECOULEMENTS DE L'EAU PEU PROFONDE, CONSECUTIFS PAR EXEMPLE A UNE RUPTURE DE BARRAGE. POUR LA PARTIE HYPERBOLIQUE DES EQUATIONS, LE SCHEMA DE ROE, SOLVEUR APPROCHE DE RIEMANN, EST INTRODUIT, ET AMELIORE PAR UNE MODIFICATION ENTROPIQUE, AFIN DE PRENDRE EN COMPTE LES CONFIGURATIONS PARTICULIERES, TELLES QUE L'ECOULEMENT SUR FOND SEC. UNE EXTENSION A L'ORDRE DEUX DE CE SCHEMA A ETE REALISEE, SOIT PAR LA METHODE DE LIMITATION DE FLUX, SOIT PAR LA METHODE MUSCL EN ESPACE ET RUNGE-KUTTA 2 EN TEMPS. UNE ANALYSE DE STABILITE NUMERIQUE NON LINEAIRE A ETE MENEE ; CELA A PERMIS LA JUSTIFICATION ET LA PREDICTION DE LIMITATIONS SUR LA CONDITION CFL, CONFIRMEES PAR LES EXPERIENCES NUMERIQUES. D'AUTRE PART, ON INTRODUIT UN SCHEMA FRACTIONNE POUR LA PRISE EN COMPTE DU TERME SOURCE. LA STABILITE ET LA CONVERGENCE DU SCHEMA VERS LA SOLUTION ENTROPIQUE SONT PROUVEES DANS LE CAS SCALAIRE. DANS LE CAS DE PROBLEMES BIDIMENSIONNELS, ET AFIN DE TRAITER CORRECTEMENT LES TERMES DE DIFFUSION, DES SCHEMAS CONCUS ET ANALYSES RECEMMENT ONT ETE APPLIQUES. IL S'AGIT D'UN SCHEMA A NEUF POINTS (VF9) DANS LE CAS DE MAILLAGES STRUCTURES, ET D'UN SCHEMA A QUATRE POINTS (VF4) DANS LE CAS DE MAILLAGES NON STRUCTURES. EN OUTRE, UNE TECHNIQUE D'ADAPTATION DE MAILLAGE BASEE SUR LA METHODE DES RESSORTS A ETE UTILISEE AVEC SUCCES, DANS LE CAS DE MAILLAGES STRUCTURES, AFIN DE CAPTURER AVEC PLUS DE PRECISIONS LES ONDES DE CHOCS ET DE DETENTE. ENFIN, ON PRESENTE UNE METHODE ORIGINALE D'OPTIMISATION, LES ALGORITHMES GENETIQUES (GAS), FAISANT LE LIEN ENTRE LA METHODE DES VOLUMES FINIS INTRODUITE ET L'IDENTIFICATION DE PARAMETRES PHYSIQUES. LES EXPERIENCES NUMERIQUES REALISEES, ENTRE AUTRES POUR LA PROPAGATION DE POLLUANTS DANS DES DOMAINES A GEOMETRIE COMPLEXE, ONT CONFIRME LES PERFORMANCES DE CES METHODES.